Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
x^{4}-4 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado dá a expressão algébrica x^{4}-4x^{2}+4 e pede para simplificá‑la/fatorá‑la quando possível. Ou seja: transformar essa expressão em uma forma mais simples ou em produto de fatores (se der).

Passo 2

Observação útil (truque que facilita muito neste tipo de polinómio): a expressão tem apenas potências pares de x. Então podemos fazer a substituição temporária
y = x^2,
para tratar o polinômio como um quadrático em y. Reescrevendo a expressão com y obtemos
y^{2}-4y+4.

Passo 3

Agora fatoramos o quadrático em y. Note que é um trinômio quadrado perfeito, porque
(y-2)^{2}=y^{2}-4y+4.
Portanto
y^{2}-4y+4=(y-2)^{2}.

Passo 4

Volta para x substituindo y=x^{2}. Assim a expressão original fica
x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}.
Isto já é uma forma simplificada e fatorada sobre os racionais.

Passo 5

Se quisermos fatorar completamente sobre os reais, fatoramos x^{2}-2 em fatores lineares:
x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
portanto
(x^{2}-2)^{2}=(x-\sqrt{2})^{2}(x+\sqrt{2})^{2}.

Passo 6

Como consequência, as raízes da equação x^{4}-4x^{2}+4=0 são x=\pm\sqrt{2}, cada uma com multiplicidade 2 (raízes duplas). Força aí — foi um passo simples: reconhecer o quadrático em x^2 faz toda a diferença.

Resposta

(x^{2}-2)^{2}
(x-\sqrt{2})^{2}(x+\sqrt{2})^{2}

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