Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{5}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{5}}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{5}.
  • Denominador: x^{2}.
  • Objetivo: simplificar a fração algébrica (ou seja, reduzir ao menor expoente possível).

Passo 2

Regra básica que vamos usar (é a chave): para qualquer base a diferente de zero e expoentes inteiros m e n,
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Explicando o que cada coisa significa:
  • a é a base (no nosso caso a=x).
  • m e n são os expoentes (no nosso caso m=5 e n=2).
    Essa fórmula diz que, ao dividir potências de mesma base, subtrai-se os expoentes.

Passo 3

Motivação e demonstração simples dessa regra (modo “mastigado”):
x^{5} = x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x, \qquad x^{2} = x\cdot x.
Dividindo,
\frac{x^{5}}{x^{2}}=\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{x\cdot x}.
Agora cancele (ou “corte”) os dois fatores x idênticos do numerador e do denominador:
\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{x\cdot x} = x\cdot x\cdot x = x^{3}.
O cancelamento corresponde exatamente a subtrair os expoentes: 5-2=3.

Passo 4

Aplicando a fórmula direta:
\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{5-2}=x^{3}.
Aqui fizemos a operação 5-2 que resulta em 3.

Passo 5

Observação importante sobre o domínio: a regra de cancelar fatores exige que o denominador não seja zero. Portanto, a igualdade \frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3} vale para todas as x tais que x\neq 0. Para x=0 a expressão original \frac{x^{5}}{x^{2}} está indefinida (divisão por zero). Em contextos em que se trata de polinômios (e não da expressão racional), às vezes escreve-se x^{3} como forma simplificada entendendo que se removeu um fator comum; formalmente deve-se anotar a condição x\neq 0.

Passo 6

Resultado final e simplificado (lembrando a condição):
\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}\quad\text{para}\quad x\neq 0.

Resposta

\displaystyle x^{3},\;x\neq 0

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