Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\sqrt{x^{2}}+\sqrt{9}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão a ser simplificada:
\sqrt{x^{2}}+\sqrt{9}.
O que se pede: simplificar essa expressão algébrica (quando possível). Informação relevante dada:
  • A expressão contém \sqrt{x^{2}} e \sqrt{9}.
  • Assume‑se que x é um número real (já que x^{2} é definido para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando a definição de raiz quadrada principal: para qualquer número real não negativo a, \sqrt{a} é o número não negativo cuja segunda potência é a. Em particular, a raiz quadrada de 9 é o número não negativo cuja quadrado é 9. Portanto:
\sqrt{9}=3,
porque 3^{2}=9 e a raiz principal é não negativa.

Passo 3

Agora vamos entender \sqrt{x^{2}}. A observação-chave é que, para todo x\in\mathbb{R}, tem‑se x^{2}\ge0, então faz sentido aplicar a raiz principal. A propriedade correta é:
\sqrt{x^{2}}=|x|,
onde |x| é o valor absoluto de x. Vou justificar isso por casos:
  • Se \,x\ge0, então |x|=x e \sqrt{x^{2}}=\sqrt{(x)^{2}}=x (pois a raiz principal retorna o não negativo).
  • Se \,x<0, escrevendo x=-t com t>0, obtemos \sqrt{x^{2}}=\sqrt{(-t)^{2}}=\sqrt{t^{2}}=t=-x, e como |x|=-x nesse caso, novamente \sqrt{x^{2}}=|x|.
    Essa análise em dois ramos prova que a igualdade \sqrt{x^{2}}=|x| vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Substituindo os resultados obtidos em cada termo da expressão original:
\sqrt{x^{2}}+\sqrt{9}=|x|+3.

Passo 5

Comentário prático sobre formas alternativas:
  • Se soubermos que \,x\ge0, então |x|=x e a expressão simplifica para
x+3.
  • Se soubermos que \,x<0, então |x|=-x e a expressão fica
-x+3.
No entanto, sem informação adicional sobre o sinal de x, a forma mais compacta e correta é |x|+3.

Passo 6

Dois exemplos numéricos para fixar:
  • Para x=5:
\sqrt{5^{2}}+\sqrt{9}=|5|+3=5+3=8.
  • Para x=-2:
\sqrt{(-2)^{2}}+\sqrt{9}=|-2|+3=2+3=5.

Resposta

|x|+3

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