Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a expressão a ser simplificada:
O que se pede: simplificar essa expressão algébrica (quando possível). Informação relevante dada:
- A expressão contém
e . - Assume‑se que
é um número real (já que é definido para todo ).
Passo 2
Lembrando a definição de raiz quadrada principal: para qualquer número real não negativo
,
é o número não negativo cuja segunda potência é
. Em particular, a raiz quadrada de
é o número não negativo cuja quadrado é
. Portanto:
porque
e a raiz principal é não negativa.
Passo 3
Agora vamos entender
. A observação-chave é que, para todo
, tem‑se
, então faz sentido aplicar a raiz principal. A propriedade correta é:
onde
é o valor absoluto de
. Vou justificar isso por casos:
- Se
, então e (pois a raiz principal retorna o não negativo). - Se
, escrevendo com , obtemos , e como nesse caso, novamente .
Essa análise em dois ramos prova que a igualdadevale para todo .
Passo 4
Substituindo os resultados obtidos em cada termo da expressão original:
Passo 5
Comentário prático sobre formas alternativas:
- Se soubermos que
, então e a expressão simplifica para
- Se soubermos que
, então e a expressão fica
No entanto, sem informação adicional sobre o sinal de
, a forma mais compacta e correta é
.
Passo 6
Dois exemplos numéricos para fixar:
- Para
:
- Para
: