Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\sqrt{16 x^{2}}-2 x

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão algébrica
\sqrt{16 x^{2}}-2 x.
Informações relevantes dadas (implícitas):
  • A variável x é real.
  • A raiz quadrada é a raiz principal, ou seja, sempre não negativa: \sqrt{\cdot}\ge 0.

Passo 2

Uma propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática):
\sqrt{a^{2}}=|a|\quad\text{para todo }a\in\mathbb{R}.
Por que isso vale? Se a\ge 0 então a^{2} tem raiz positiva a, logo \sqrt{a^{2}}=a=|a|. Se a<0 então a^{2} também tem raiz positiva -a, e \sqrt{a^{2}}=-a=|a|. Exemplo concreto: para a=-3, \sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3=|-3|. Portanto, ao simplificar raízes de quadrados devemos trocar por valor absoluto, não simplesmente por a.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao que temos: note que
16x^{2}=(4x)^{2}.
Logo, pela propriedade anterior,
\sqrt{16x^{2}}=\sqrt{(4x)^{2}=}|4x|=4|x|.
Aqui usei também que, para constante positiva c>0, vale |c x|=c|x| (porque multiplicar por c apenas escala o valor absoluto).

Passo 4

Substituindo na expressão original obtemos uma forma mais simples, ainda em termos de valor absoluto:
\sqrt{16 x^{2}}-2 x = 4|x|-2x.
Para manipular mais, fatoramos 2:
4|x|-2x = 2\bigl(2|x|-x\bigr).

Passo 5

Agora fazemos a simplificação final distinguindo os dois casos possíveis (essa é a parte que tipicamente aparece numa prova — resolver por casos usando o sinal de x).
  • Se x\ge 0 então |x|=x. Substituindo em 2(2|x|-x)
2\bigl(2x-x\bigr)=2x.
  • Se x<0 então |x|=-x. Substituindo em 2(2|x|-x)
2\bigl(2(-x)-x\bigr)=2\bigl(-2x-x\bigr)=2(-3x)=-6x.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: para x\ge 0 o resultado 2x é não negativo como se espera (a expressão original com raiz é \ge 0 quando x\ge 0). Para x<0 o resultado -6x também é não negativo (pois -6x>0 quando x<0), consistente com a presença da raiz principal no início. Tudo bate.

Resposta

\begin{cases} 2x, & x\ge 0,\\[4pt] -6x, & x<0. \end{cases}

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