Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão algébrica
Informações relevantes dadas (implícitas):
- A variável
é real. - A raiz quadrada é a raiz principal, ou seja, sempre não negativa:
.
Passo 2
Uma propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática):
Por que isso vale? Se
então
tem raiz positiva
, logo
. Se
então
também tem raiz positiva
, e
. Exemplo concreto: para
,
. Portanto, ao simplificar raízes de quadrados devemos trocar por valor absoluto, não simplesmente por
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao que temos: note que
Logo, pela propriedade anterior,
Aqui usei também que, para constante positiva
, vale
(porque multiplicar por
apenas escala o valor absoluto).
Passo 4
Substituindo na expressão original obtemos uma forma mais simples, ainda em termos de valor absoluto:
Para manipular mais, fatoramos
:
Passo 5
Agora fazemos a simplificação final distinguindo os dois casos possíveis (essa é a parte que tipicamente aparece numa prova — resolver por casos usando o sinal de
).
- Se
então . Substituindo em dá
- Se
então . Substituindo em dá
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: para
o resultado
é não negativo como se espera (a expressão original com raiz é
quando
). Para
o resultado
também é não negativo (pois
quando
), consistente com a presença da raiz principal no início. Tudo bate.