Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{2}-x-6}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2}-x-6}{x-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{2}-x-6.
  • Denominador: x-3.
  • O objetivo é escrever a expressão de forma mais simples (quando possível), mantendo atenção para valores de x que tornem a expressão original indefinida.

Passo 2

Antes de qualquer manipulação, identificar restrição de domínio: qualquer expressão racional tem proibição onde o denominador é zero. Aqui o denominador é x-3, então
x\neq 3
é uma condição necessária: a expressão original não está definida em x=3.

Passo 3

Tentar fatorar o numerador x^{2}-x-6. Método: procurar dois números que ao multiplicar dêem -6 (o termo constante) e ao somar dêem -1 (o coeficiente de x).
  • Possibilidades de pares que multiplicam -6: (1,-6),(-1,6),(2,-3),(-2,3), (3,-2),(-3,2).
  • Destes, o par que soma -1 é -3 e 2, pois -3+2=-1 e (-3)\cdot 2=-6.
Portanto o numerador fatora como
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).

Passo 4

Substituir a fatoração na fração:
\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}.
Agora podemos simplificar cancelando o fator comum (x-3) no numerador e no denominador. Regra importante: só é permitido cancelar se o fator não for zero; por isso lembramos a condição x\neq3. Após o cancelamento obtemos
\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2\quad\text{para }x\neq3.

Passo 5

Verificação alternativa (divisão de polinômios) para reforçar a ideia: dividir x^{2}-x-6 por x-3.
  • Primeiro termo do quociente: x, porque x\cdot(x-3)=x^{2}-3x.
  • Subtrair: (x^{2}-x-6)-(x^{2}-3x)=2x-6.
  • Próximo termo do quociente: +2, porque 2\cdot(x-3)=2x-6.
  • Subtrair: (2x-6)-(2x-6)=0. Resto zero, quociente x+2.
Isso confirma que
\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2
exceto em x=3, onde a expressão original não existe.

Passo 6

Resumo didático curto e dica para prova: quando vir uma fração com polinômios, tente sempre fatorar o numerador e o denominador e cancelar fatores comuns, lembrando de anotar as restrições de domínio (valores que anulam o denominador). Se for necessário, faça a divisão de polinômios para checar o resultado.

Resposta

x+2,\;x\neq 3

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