Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que é gerado quando a região envolvida por
e
gira em torno da recta
.
Passo 1
O enunciado dá a região limitada por
,
,
e
, e pede o volume do sólido obtido quando essa região gira em torno da reta
.
Informações relevantes dadas:
- Curva superior/relacionamento:
. - Retas horizontais:
(uma das fronteiras) e (eixo , outra fronteira). - Reta vertical:
. - Eixo de rotação: reta horizontal
. - Objetivo: calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno de
.
Passo 2
Explicando o método das camadas cilíndricas (shells) de forma didática.
Ideia física/geometria: tomar uma tira fina do plano (a “camada”) paralela ao eixo de rotação; ao girar essa tira em torno do eixo obtém-se uma casca cilíndrica fina. O volume total é somado integrando essas cascas.
Fórmula elemental para uma casca obtida por uma tira de espessura
:
Aqui:
- O fator
vem da circunferência da casca. - “raio” é a distância entre a tira e o eixo de rotação.
- “altura da casca” é o comprimento da tira na direção perpendicular ao eixo de rotação.
- “espessura” é o elemento diferencial (por exemplo
ou ).
Como o eixo de rotação é horizontal (
), escolhemos tiras horizontais (variando em
) para formar cascas cuja espessura é
. A seguir definimos explicitamente raio, altura e os limites de integração em termos de
.
Passo 3
Determinar, para uma tira horizontal a uma altura genérica
(com
), os elementos da casca.
- Raio da casca: distância vertical entre a reta
(eixo de rotação) e a tira na altura . Assim
porque
na região dada.
- Altura (comprimento) da tira horizontal: é o comprimento no sentido
dentro da região, ou seja, a diferença entre a abscissa à direita e à esquerda para aquela .
- A fronteira à esquerda é
. - A fronteira à direita é dada por inverter
. Resolver para :
Portanto a altura (comprimento) da tira é
Observação de validade: para
tem-se
, logo a altura é não-negativa.
- Limites de integração em
: a região está entre e , então . Note que em a abscissa direita tende para , portanto trata-se de uma integral imprópria na borda ; é necessário verificar convergência ao calcular.
Passo 4
Montar a integral pelo método das cascas: para cada tira horizontal de espessura
,
O volume total é a integral (imprópria) de
de
a
:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo, tratando a impropriedade.
Primeiro expandimos o integrando para integrar termo a termo:
Portanto
Como há singularidade em
em
, interpretamos a integral como limite:
Agora calculamos primitivadas termo a termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando as primitivas:
Avaliar de
a
e depois fazer
:
Note que cada termo que depende de
tende a zero quando
(porque
). Assim a contribuição do limite inferior é
.
Calcule a expressão no ponto
:
Portanto a integral vale
, e o volume é
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o integral impróprio converge (obtivemos valor finito), logo o volume gerado pela rotação da região pedida em torno de
é
Se quiser, dá para checar dimensões ou aproximar numericamente:
, o que faz sentido como volume finito.