Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que é gerado quando a região envolvida por y=1 / x^{3}, \quad y=1, \quad x=1 e y=0 gira em torno da recta y=1.

Passo 1

O enunciado dá a região limitada por y=\dfrac{1}{x^{3}}, y=1, x=1 e y=0, e pede o volume do sólido obtido quando essa região gira em torno da reta y=1.
Informações relevantes dadas:
  • Curva superior/relacionamento: y=\dfrac{1}{x^{3}}.
  • Retas horizontais: y=1 (uma das fronteiras) e y=0 (eixo x, outra fronteira).
  • Reta vertical: x=1.
  • Eixo de rotação: reta horizontal y=1.
  • Objetivo: calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno de y=1.

Passo 2

Explicando o método das camadas cilíndricas (shells) de forma didática.
Ideia física/geometria: tomar uma tira fina do plano (a “camada”) paralela ao eixo de rotação; ao girar essa tira em torno do eixo obtém-se uma casca cilíndrica fina. O volume total é somado integrando essas cascas.
Fórmula elemental para uma casca obtida por uma tira de espessura \mathrm{d}t:
\mathrm{d}V = 2\pi \times (\text{raio}) \times (\text{altura da casca}) \times (\text{espessura}).
Aqui:
  • O fator 2\pi vem da circunferência da casca.
  • “raio” é a distância entre a tira e o eixo de rotação.
  • “altura da casca” é o comprimento da tira na direção perpendicular ao eixo de rotação.
  • “espessura” é o elemento diferencial (por exemplo \mathrm{d}y ou \mathrm{d}x).
Como o eixo de rotação é horizontal ( y=1), escolhemos tiras horizontais (variando em y) para formar cascas cuja espessura é \mathrm{d}y. A seguir definimos explicitamente raio, altura e os limites de integração em termos de y.

Passo 3

Determinar, para uma tira horizontal a uma altura genérica y (com 0< y \le 1), os elementos da casca.
  1. Raio da casca: distância vertical entre a reta y=1 (eixo de rotação) e a tira na altura y. Assim
\text{raio} = |1-y| = 1-y,
porque y\le 1 na região dada.
  1. Altura (comprimento) da tira horizontal: é o comprimento no sentido x dentro da região, ou seja, a diferença entre a abscissa à direita e à esquerda para aquela y.
  • A fronteira à esquerda é x=1.
  • A fronteira à direita é dada por inverter y=\dfrac{1}{x^{3}}. Resolver para x:
x^3=\dfrac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad x = y^{-1/3}.
Portanto a altura (comprimento) da tira é
\text{altura} = x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} = y^{-1/3}-1.
Observação de validade: para 0<y\le 1 tem-se y^{-1/3}\ge 1, logo a altura é não-negativa.
  1. Limites de integração em y: a região está entre y=0 e y=1, então y\in(0,1]. Note que em y=0 a abscissa direita tende para +\infty, portanto trata-se de uma integral imprópria na borda y=0; é necessário verificar convergência ao calcular.

Passo 4

Montar a integral pelo método das cascas: para cada tira horizontal de espessura \mathrm{d}y,
\mathrm{d}V = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot \mathrm{d}y = 2\pi (1-y)\bigl(y^{-1/3}-1\bigr)\mathrm{d}y.
O volume total é a integral (imprópria) de y de 0 a 1:
V = 2\pi \int_{0}^{1} (1-y)\bigl(y^{-1/3}-1\bigr)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo, tratando a impropriedade.
Primeiro expandimos o integrando para integrar termo a termo:
(1-y)\bigl(y^{-1/3}-1\bigr) = y^{-1/3}-1 - y^{2/3}+y.
Portanto
V = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(y^{-1/3}-y^{2/3}-1+y\bigr)\,\mathrm{d}y.
Como há singularidade em y^{-1/3} em y=0, interpretamos a integral como limite:
V = 2\pi \lim_{a\to 0^{+}} \int_{a}^{1}\bigl(y^{-1/3}-y^{2/3}-1+y\bigr)\,\mathrm{d}y.
Agora calculamos primitivadas termo a termo:
  • Para y^{-1/3}:
\int y^{-1/3}\,\mathrm{d}y = \frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}y^{2/3}.
  • Para -y^{2/3}:
\int -y^{2/3}\,\mathrm{d}y = -\frac{y^{5/3}}{5/3} = -\frac{3}{5}y^{5/3}.
  • Para -1:
\int -1\,\mathrm{d}y = -y.
  • Para y:
\int y\,\mathrm{d}y = \frac{y^{2}}{2}.
Somando as primitivas:
\int\bigl(y^{-1/3}-y^{2/3}-1+y\bigr)\mathrm{d}y = \frac{3}{2}y^{2/3}-\frac{3}{5}y^{5/3}-y+\frac{y^{2}}{2}.
Avaliar de a a 1 e depois fazer a\to 0^{+}:
\begin{aligned} \lim_{a\to 0^{+}}\Bigl[\frac{3}{2}y^{2/3}-\frac{3}{5}y^{5/3}-y+\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=a}^{y=1} &= \Bigl(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}-1+\frac{1}{2}\Bigr) - \lim_{a\to 0^{+}}\Bigl(\frac{3}{2}a^{2/3}-\frac{3}{5}a^{5/3}-a+\frac{a^{2}}{2}\Bigr). \end{aligned}
Note que cada termo que depende de a tende a zero quando a\to 0^{+} (porque a^{2/3},a^{5/3},a,a^{2}\to 0). Assim a contribuição do limite inferior é 0.
Calcule a expressão no ponto y=1:
\frac{3}{2}-\frac{3}{5}-1+\frac{1}{2} = \Bigl(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\Bigr)-1-\frac{3}{5} = 2-1-\frac{3}{5} =1-\frac{3}{5} =\frac{2}{5}.
Portanto a integral vale \dfrac{2}{5}, e o volume é
V = 2\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{4\pi}{5}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o integral impróprio converge (obtivemos valor finito), logo o volume gerado pela rotação da região pedida em torno de y=1 é
V=\frac{4\pi}{5}.
Se quiser, dá para checar dimensões ou aproximar numericamente: \dfrac{4\pi}{5}\approx 2{,}513, o que faz sentido como volume finito.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{5}

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