Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
x^{3}-x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado fornece a expressão algébrica a ser resolvida e, quando possível, simplificada:
x^{3}-x^{2}-x+1.
A tarefa é fatorar/simplificar essa expressão algébrica e apresentar a forma mais simples possível (por exemplo, fatorada).

Passo 2

Observação inicial e escolha do método. A expressão é um polinômio de grau 3 com quatro termos. Um método natural para polinômios com quatro termos é a fatoração por agrupamento: agrupar termos em pares de modo a extrair fatores comuns em cada grupo e, em seguida, fatorar o fator comum entre os grupos. Vou usar esse método porque costuma ser rápido e direto aqui.

Passo 3

Fazer a agrupação dos termos em dois pares:
x^{3}-x^{2}-x+1 = \bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)+\bigl(-x+1\bigr).

Passo 4

Fatorar o fator comum em cada um dos grupos. No primeiro grupo \bigl(x^{3}-x^{2}\bigr) há fator comum x^{2}. No segundo grupo \bigl(-x+1\bigr) há fator comum -1. Aplicando isso:
x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{2}(x-1)-1(x-1).

Passo 5

Agora aparece um fator comum (x-1) nos dois termos; fatoramos (x-1):
x^{2}(x-1)-1(x-1) = (x-1)\bigl(x^{2}-1\bigr).
Expliquei: ao tirar (x-1) como fator comum, dentro do parêntese fica x^{2} no primeiro termo e -1 no segundo, formando x^{2}-1.

Passo 6

Reconhecer que \bigl(x^{2}-1\bigr) é uma diferença de quadrados. Lembrete da fórmula da diferença de quadrados: para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, então
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo de volta:
(x-1)\bigl(x^{2}-1\bigr)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1).

Passo 7

Verificação rápida (expandir para conferir que volta ao original). Expandindo (x-1)^{2}(x+1):
(x-1)^{2}(x+1)=(x^{2}-2x+1)(x+1)
=(x^{2}-2x+1)x+(x^{2}-2x+1)\cdot1
=x^{3}-2x^{2}+x + x^{2}-2x+1
=x^{3}-x^{2}-x+1,
que é exatamente a expressão original, confirmando a fatoração.

Resposta

(x-1)^{2}(x+1)

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