Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver e, quando possível, simplificar a expressão
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}.
Informações dadas: a expressão envolve expoentes fracionários \tfrac{1}{2} e inteiro 2. Não foi especificado domínio de x, portanto preciso mencionar as restrições necessárias para que a expressão faça sentido nos reais.

Passo 2

Regra de potências que vou usar: para uma base a e expoentes reais m,n,
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n},
desde que as potências apareçam e estejam definidas (isto é, a expressão faz sentido no conjunto considerado). Intuição rápida: elevar à m significa multiplicar a por si mesma de forma “estendida”, e elevar o resultado à n soma os expoentes, resultando no produto m\cdot n.
Exemplo simples (sem complicação): \left(2^{3}\right)^{2}=8^{2}=64 e 2^{3\cdot2}=2^{6}=64. Mesma conta.

Passo 3

Aplicando a regra à expressão dada:
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x^{\frac{1}{2}\cdot 2}.
Calculo do produto dos expoentes:
\frac{1}{2}\cdot 2=1.
Portanto,
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x^{1}=x,
desde que a operação esteja definida.

Passo 4

Discussão sobre domínio (muito importante para não levar rasteira na prova):
  • Na matemática real, x^{\frac{1}{2}} costuma significar a raiz quadrada principal, isto é \sqrt{x}, que só está definida como número real quando x\ge0.
  • Logo, a igualdade \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x vale para todo x real com x\ge0.
  • Observação contrastante: a outra composição \left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} equivale a |x|, não a x. Isso mostra que a ordem das operações importa quando pensamos em sinais e domínio.

Passo 5

Exemplos numéricos para fixar:
  • Para x=9: \left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=(\sqrt{9})^{2}=3^{2}=9.
  • Para x=0: (0^{\frac{1}{2}})^{2}=(0)^{2}=0.
  • Para x=-4: x^{\frac{1}{2}} não é real, então a expressão não está definida nos reais (precisaria trabalhar com números complexos e com escolha de ramo da raiz).

Passo 6

Resumo prático para a prova: quando vir \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2} e estiver no contexto dos reais, pode simplificar diretamente para x, mas lembre-se sempre de anotar a condição x\ge0 se a questão envolver domínio.

Resposta

x,\\ \text{para } x\ge0

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