Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
(x+y)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver e, quando possível, simplificar a expressão (x+y)^{3}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser expandida é (x+y)^{3}.
  • x e y são variáveis (podem representar números reais quaisquer).
  • Não há restrição adicional — só é preciso expandir e simplificar os termos semelhantes.

Passo 2

Estratégia escolhida (método elementar e seguro): usar a propriedade distributiva (método de multiplicação passo a passo). Primeiro computa-se (x+y)^{2} e depois multiplica-se o resultado por (x+y). Isso evita pular etapas e é fácil de aplicar na prova sem fórmulas prontas.

Passo 3

Calcular (x+y)^{2} usando multiplicação:
(x+y)^{2}=(x+y)(x+y).
Aplicando a distributiva (ou método FOIL):
(x+y)(x+y)=x\cdot x + x\cdot y + y\cdot x + y\cdot y.
Como x\cdot y e y\cdot x são iguais, somam:
x^{2}+xy+yx+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Portanto:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.

Passo 4

Agora multiplica-se (x+y)^{2} por (x+y):
(x+y)^{3}=(x^{2}+2xy+y^{2})(x+y).
Distribuindo cada termo do primeiro parêntese sobre (x+y):
(x^{2}+2xy+y^{2})(x+y)=x^{2}(x+y)+2xy(x+y)+y^{2}(x+y).
Expansão de cada produto:
x^{2}(x+y)=x^{3}+x^{2}y,
2xy(x+y)=2x^{2}y+2xy^{2},
y^{2}(x+y)=xy^{2}+y^{3}.

Passo 5

Somar todos os termos obtidos e agrupar termos semelhantes:
x^{3}+x^{2}y+2x^{2}y+2xy^{2}+xy^{2}+y^{3}.
Agrupando:
  • termos em x^{2}y: x^{2}y+2x^{2}y=3x^{2}y,
  • termos em xy^{2}: 2xy^{2}+xy^{2}=3xy^{2}.
Assim, os coeficientes dos termos (da esquerda para a direita) são 1 para x^{3}, 3 para x^{2}y, 3 para xy^{2} e 1 para y^{3}.

Passo 6

Observação alternativa (fórmula geral breve): pela fórmula do binômio de Newton,
(x+y)^{3}=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}y^{k},
e como \binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1, obtém-se os mesmos coeficientes 1,3,3,1. Essa é uma forma rápida de lembrar os coeficientes (também aparecem na terceira linha do triângulo de Pascal).

Resposta

x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

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