Resolva o P.V.I.
l y^prime=y cos (t)1+2 y^2 y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = y cdot cos(t)1 + 2 y^2, , y(0) = 1
É uma EDO separável; vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável, temos
dydt=ycos(t)1+2y^2 Longrightarrow 1+2y^2y,dy=cos(t),dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integrall(tfrac1y+2yr),dy =integralcos(t),dt Longrightarrow integral1y,dy+integral2y,dy =sin(t)+C
Fazendo as integrais,
ln|y|+y^2=sin(t)+C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
ln(1)+1^2=sin(0)+C Longrightarrow 0+1=0+C Longrightarrow C=1

Passo 5

Substituindo C, obtemos a solução implícita
ln|y|+y^2=sin(t)+1
Como y(0)=1>0, temos y(t)>0 e podemos retirar o valor absoluto.

Resposta

boxedlnl(y(t)r)+y(t)^2=sin(t)+1

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