Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).
(y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
.
O método é clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular da forçada, e finalmente aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
O método é clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular da forçada, e finalmente aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
montamos a equação característica
Logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não-homogêneo
. Como não há coincidência com a homogênea, propomos
Derivando,
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
. Comparando coeficientes:
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
logo
.
Em seguida calculamos
Em seguida calculamos
então