Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
y'' + 4y = t^2 + 3e^t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O método é clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular da forçada, e finalmente aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
yh'' + 4yh = 0,
montamos a equação característica
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
Logo
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo não-homogêneo t^2 + 3e^t. Como não há coincidência com a homogênea, propomos
yp(t) = At^2 + Bt + C + De^t
Derivando,
yp'(t) = 2At + B + De^t, yp''(t) = 2A + De^t
Substituindo em y''+4y:
(2A + De^t) + 4(At^2 + Bt + C + De^t) =4At^2 + 4Bt + (2A+4C) + 5D,e^t
Isso deve ser igual a t^2 + 3e^t. Comparando coeficientes:
4A = 1 ;Rightarrow; A = tfrac14, 4B = 0 ;Rightarrow; B = 0,
2A + 4C = 0 ;Rightarrow; tfrac12 + 4C = 0 ;Rightarrow; C = -tfrac18, 5D = 3 ;Rightarrow; D = tfrac35
Portanto
yp(t) = tfrac14,t^2 - tfrac18 + tfrac35,e^t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + tfrac14,t^2 - tfrac18 + tfrac35,e^t

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
y(0) = C1cos0 + C2sin0 + l(0 - tfrac18 + tfrac35cdot1r) = C1 + l(-tfrac18 + tfrac35r) = C1 + tfrac1940 = 0,
logo C1 = -tfrac1940.
Em seguida calculamos
y'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t) + tfrac12,t + tfrac35,e^t,
então
y'(0) = 0 + 2C2cdot1 + 0 + tfrac35 = 2C2 + tfrac35 = 0 ;Rightarrow; C2 = -tfrac310

Resposta

boxed y(t) = -tfrac1940cos(2t);-;tfrac310sin(2t);+;tfrac14,t^2;-;tfrac18;+;tfrac35,e^t

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