Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=\operatorname{sen}(2 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 5y = sen(2t), y(0)=0, y'(0)=0
O conteúdo envolve a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea
y'' - 4y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t),
pois o termo forçante é sen(2t) e não há ressonância com e^2tcos t nem e^2tsin t. Calculamos
yp' = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t),
yp'' = -4Acos(2t) - 4Bsin(2t)
Substituindo em y'' -4y' +5y obtemos
(A - 8B)cos(2t) + (8A + B)sin(2t) = sen(2t)
Igualando coeficientes:
A - 8B = 0, 8A + B = 1,
cuja solução é
B = 165, A = 865
Portanto
yp(t) = 865cos(2t) + 165sin(2t)

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr) + 865cos(2t) + 165sin(2t)
Usamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = C1 + 865 = 0 Longrightarrow C1 = -865
Para y'(t) derivamos:
y'(t)=e^2tl((2C1+C2)cos t + (2C2 - C1)sin tr) - 1665sin(2t) + 265cos(2t)
Em t=0:
y'(0) = (2C1 + C2) + 265 = 0
Substituindo C1 = -tfrac865:
-,1665 + C2 + 265 = 0 Longrightarrow C2 = 1465

Resposta

boxedy(t) = e^2tl(-tfrac865cos t + tfrac1465sin tr) + tfrac865cos(2t) + tfrac165sin(2t)

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