Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=\operatorname{sen}(2 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=\operatorname{sen}(2 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo envolve a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da forma
pois o termo forçante é
e não há ressonância com
nem
. Calculamos
Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes:
cuja solução é
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Usamos as condições iniciais. Em
t=0 :
Para
y'(t) derivamos:
Em
t=0 :
Substituindo
C1 = -tfrac865 :