Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=3 t, y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 5y' + 6y = 3t, y(0)=0, y'(0)=2
Trata-se de uma EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular. Por fim, ajustamos as constantes às condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea
yh'' + 5yh' + 6yh = 0
é
r^2 + 5r + 6 = 0
As raízes são
r = -2, r = -3
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp(t) ao termo 3t, tentamos um polinômio de grau 1:
yp(t) = A t + B
Então
yp'(t) = A, yp''(t) = 0
Substituindo em y'' + 5y' + 6y = 3t, obtemos
0 + 5A + 6(At + B) = 3t ;Longrightarrow; 6A,t + (5A + 6B) = 3t
Igualando coeficientes de t e constantes:
6A = 3 ;Rightarrow; A = tfrac12, 5A + 6B = 0 ;Rightarrow; 5!l(tfrac12r) + 6B = 0 ;Rightarrow; 6B = -tfrac52 ;Rightarrow; B = -tfrac512
Portanto
yp(t) = tfrac12,t - tfrac512

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t + tfrac12,t - tfrac512
Aplicando y(0)=0:
C1 + C2 + 0 - tfrac512 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = tfrac512

Passo 5

Calculamos y'(t):
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t + tfrac12
Em t=0, a condição y'(0)=2
-2C1 - 3C2 + tfrac12 = 2 ;Longrightarrow; -2C1 - 3C2 = tfrac32 ;Longrightarrow; 2C1 + 3C2 = -tfrac32
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac512, 2C1 + 3C2 = -tfrac32,
obtemos
C1 = tfrac114, C2 = -tfrac73

Passo 6

Substituindo C1 e C2 em y(t), a solução final é
y(t) = tfrac114,e^-2t - tfrac73,e^-3t + tfrac12,t - tfrac512

Resposta

y(t) = 114e^-2t - 73e^-3t + 12,t - 512

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