Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
y^prime prime-y^prime-6 y=3 e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 6y = 3e^-t, com y(0)=1 e y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos obter a solução geral somando a solução da equação homogênea e uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0
As raízes são
r = 3 e r = -2
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é 3e^-t e -1 não é raiz da característica, tentamos
yp(t) = A e^-t
Calculando derivadas:
yp' = -A e^-t, yp'' = A e^-t
Substituindo em y''-y'-6y:
yp'' - yp' - 6yp = A e^-t - (-A e^-t) - 6A e^-t = (-4A)e^-t
Para corresponder a 3e^-t temos -4A = 3, então A = -tfrac34. Assim
yp(t) = -tfrac34e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t - tfrac34e^-t
Calculamos y'(t):
y'(t) = 3C1 e^3t - 2C2 e^-2t + tfrac34e^-t

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
Resolvendo o sistema
obtemos

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = 1120e^3t + 65e^-2t - 34e^-t

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