onde k e A são constantes e \delta(t) é a delta de Dirac.
O que se pede é encontrar u(x,t) para x>0,\;t>0.]
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace no tempo. Primeiro, lembrando definições e propriedades que vamos precisar (tudo em função da variável de Laplace s):
Definição da transformada de Laplace de u(x,t) (para cada x fixo):
A transformada da delta de Dirac localizada em t=0 é
\mathcal{L}\{\delta(t)\}(s)=1.
A transformada no tempo comparam-se com derivadas espaciais sem problema: \mathcal{L}\{\partial_x u(x,t)\}(s)=\partial_x U(x,s) (a derivada em x passa para fora da integral porque a transformação é só em t).
Vou usar essas propriedades passo a passo; sempre explico o significado de cada símbolo quando aparecer.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace (em t) à equação PDE k\,u_{xx}=u_t:
No lado esquerdo, k\,u_{xx} como função de t tem transformada k\,\partial_{x}^{2}U(x,s).
No lado direito, \partial_t u tem transformada s\,U(x,s)-u(x,0).
Como u(x,0)=0 pelo enunciado, obtemos a equação em x (para cada s):
onde C_{1}(s) e C_{2}(s) são funções de s a determinar pelas condições de contorno transformadas.
A condição física \lim_{x\to\infty} u(x,t)=0 implica, ao transformar, \lim_{x\to\infty} U(x,s)=0 (para \Re s grande o suficiente). Para que a solução decaia quando x\to\infty devemos ter C_{1}(s)=0 (o termo exponencial crescente é proibido). Logo
U(x,s)=C(s)\,e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}},
onde escrevi C(s) para C_{2}(s).
Passo 5
Agora aplicamos a condição de contorno em x=0, que envolve \partial_x u(0,t). Transformando essa condição:
para a\ge 0. Aqui a=\dfrac{x}{\sqrt{k}}. Vou explicar por que essa fórmula faz sentido, de maneira intuitiva: quando aparece e^{-a\sqrt{s}} no domínio de s isso corresponde, no domínio do tempo, a um núcleo de calor / núcleo Gaussiano com \exp(-a^{2}/(4t)) e fator t^{-1/2}; a constante \sqrt{\pi} ajusta as normalizações (essa é uma identidade padrão resultante da integral de Gauss sob mudança de variável).
Usando essa inversão e lembrando do fator A\sqrt{k}, obtemos
Para cada t>0, \displaystyle \lim_{x\to\infty}u(x,t)=0 pela exponencial negativa, conforme exigido.
Para t\to 0^{+} e x>0 fixo, a exponencial domina e u(x,t)\to 0, coerente com a condição inicial u(x,0)=0 em sentido pontual (a singularidade está concentrada em x=0,t=0 por causa da delta).
A condição de contorno \partial_x u(0,t)=-A\delta(t) é satisfeita em sentido de distribuições: para t>0 a derivada espacial em x=0 é zero (a solução é regular para t>0 e tem simetria de tipo núcleo), e a presença de -A\delta(t) corresponde justamente ao impulso instantâneo de fluxo no tempo t=0 que gerou a solução acima; matematicamente essa condição foi usada direto na fase transformada (onde \mathcal{L}\{\delta\}=1).
Se quiser, na prova você pode justificar a fórmula de inversão citada lembrando ou consultando uma tabela de transformadas padrão; é uma identidade muito utilizada em problemas de calor com condições impulsivas.