Use Transformada de Laplace, para o problema abaixo, obtenha a EDO correspondente e resolva esta EDO. ( Não esqueça de calcular as constantes da EDO.)
\left\{\begin{array}{c} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t}, \quad 0<x<\infty, \quad t>0 \\\ \frac{\partial u}{\partial x}(0, t)=100-u(0, t), \quad \lim _{x \rightarrow \infty} u(x, t)=0, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=0, \quad 0<x<\infty \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte equação e condições (copiei tudo exatamente do enunciado):
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t}, & 0<x<\infty,\\ t>0,\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=100-u(0,t), & t>0,\\[4pt] \displaystyle \lim_{x\to\infty} u(x,t)=0, & t>0,\\[4pt] \displaystyle u(x,0)=0, & 0<x<\infty. \end{cases}
O que é pedido aqui (interpretação do enunciado):
  • Aplicar a Transformada de Laplace em t à equação para obter a EDO em x para a transformada \displaystyle U(x,s)=\mathcal{L}\{u(x,t)\}(s).
  • Resolver essa EDO em x, encontrando as constantes envolvidas a partir das condições de contorno.
Informações relevantes dadas:
  • Condição inicial: u(x,0)=0 para todo x>0.
  • Condição na fronteira x=0: \dfrac{\partial u}{\partial x}(0,t)=100-u(0,t).
  • Condição no infinito: u(x,t)\to0 quando x\to\infty, para cada t>0.]

Passo 2

Breve lembrete da Transformada de Laplace que vamos usar (com uma linguagem simples):
  • Definição: para cada x fixo, define-se
U(x,s)=\mathcal{L}\{u(x,t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,u(x,t)\,dt,
onde s é a variável complexa (no nosso contexto real e positiva, s>0, basta).
  • Propriedade importante para derivada temporal: se u(x,t) tem u(x,0) dado, então
\mathcal{L}\{u_t(x,t)\}(s)=s\,U(x,s)-u(x,0).
No nosso problema u(x,0)=0, então \mathcal{L}\{u_t\}=s\,U.
  • A Transformada atua apenas em t; derivadas em x passam para a transformada como derivadas em x, por exemplo
\mathcal{L}\{u_{xx}(x,t)\}(s)=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}U(x,s)=U_{xx}(x,s).
Agora aplicamos a transformada à equação diferencial parcial. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de
u_{xx}(x,t)=u_t(x,t),
obtemos (usando as propriedades acima):
U_{xx}(x,s)=s\,U(x,s)-u(x,0).
Como u(x,0)=0, isso simplifica para
\boxed{U_{xx}(x,s)=s\,U(x,s).}
Essa é a EDO em x (para cada s fixo) que devemos resolver.

Passo 3

Resolver a EDO ordinária
U_{xx}-s\,U=0.
Esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Montamos a equação característica substituindo uma solução do tipo U\sim e^{r x}:
r^{2}-s=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{s}.
Aqui \sqrt{s} é a raiz principal (para s>0, \sqrt{s}>0). Portanto a solução geral é
\boxed{U(x,s)=A(s)\,e^{\sqrt{s}\,x}+B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x},}
onde A(s) e B(s) são constantes em x que podem depender de s. A próxima etapa é determinar essas constantes usando as condições de contorno.

Passo 4

Usar a condição no infinito:
\lim_{x\to\infty} u(x,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty} U(x,s)=0
para cada s>0 (a transformada deve ser finita). Como e^{\sqrt{s}x} cresce exponencialmente quando x\to\infty, a única forma de U(x,s) não divergir é ter
A(s)=0.
Logo
\boxed{U(x,s)=B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x}.}

Passo 5

Determinar B(s) usando a condição no contorno x=0. Primeiro toma-se a transformada de Laplace da condição de contorno em t:
condição original:
u_x(0,t)=100-u(0,t).
Aplicando \mathcal{L} em t (note que 100 é constante em t, então \mathcal{L}\{100\}=100/s), e lembrando que \mathcal{L}\{u_x(0,t)\}=\partial_x U(0,s) e \mathcal{L}\{u(0,t)\}=U(0,s), obtemos:
U_x(0,s)=\frac{100}{s}-U(0,s).
Agora expressamos U e sua derivada com a fórmula que já temos:
U(x,s)=B(s)\,e^{-\sqrt{s}x} \quad\Rightarrow\quad U(0,s)=B(s),
U_x(x,s)=-\sqrt{s}\,B(s)\,e^{-\sqrt{s}x} \quad\Rightarrow\quad U_x(0,s)=-\sqrt{s}\,B(s).
Substituindo na condição transformada:
-\sqrt{s}\,B(s)=\frac{100}{s}-B(s).
Isolando B(s):
-\sqrt{s}\,B(s)+B(s)=\frac{100}{s} \quad\Rightarrow\quad B(s)\,(1-\sqrt{s})=\frac{100}{s}.
Portanto
\boxed{B(s)=\frac{100}{s\,(1-\sqrt{s})}.}
É comum simplificar multiplicando numerador e denominador por 1+\sqrt{s} para remover a raiz do denominador:
B(s)=\frac{100(1+\sqrt{s})}{s(1-s)}.
Ambas as formas são equivalentes (a segunda pode ser útil para análise de polos).

Passo 6

Escrever a solução final para U(x,s) (a transformada de Laplace de u(x,t)), colocando B(s) na expressão de U:
\boxed{U(x,s)=B(s)\,e^{-\sqrt{s}x}=\frac{100}{s(1-\sqrt{s})}\,e^{-\sqrt{s}x}=\frac{100(1+\sqrt{s})}{s(1-s)}\,e^{-\sqrt{s}x}.}
Isso completa a resolução da EDO obtida pela transformada de Laplace: encontramos a solução geral, aplicamos as condições de contorno e calculamos a constante B(s). A inversão da transformada de Laplace para obter u(x,t) no domínio do tempo envolve transformadas com fatores e^{-\sqrt{s}x} e não é solicitada explicitamente; a expressão acima é a solução da EDO em x para a transformada U(x,s).

Resposta

U(x,s)=\frac{100}{s(1-\sqrt{s})}\,e^{-\sqrt{s}\,x}=\frac{100(1+\sqrt{s})}{s(1-s)}\,e^{-\sqrt{s}\,x}.

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