para cada s>0 (a transformada deve ser finita). Como e^{\sqrt{s}x} cresce exponencialmente quando x\to\infty, a única forma de U(x,s) não divergir é ter
A(s)=0.
Logo
\boxed{U(x,s)=B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x}.}
Passo 5
Determinar B(s) usando a condição no contorno x=0. Primeiro toma-se a transformada de Laplace da condição de contorno em t:
condição original:
u_x(0,t)=100-u(0,t).
Aplicando \mathcal{L} em t (note que 100 é constante em t, então \mathcal{L}\{100\}=100/s), e lembrando que \mathcal{L}\{u_x(0,t)\}=\partial_x U(0,s) e \mathcal{L}\{u(0,t)\}=U(0,s), obtemos:
U_x(0,s)=\frac{100}{s}-U(0,s).
Agora expressamos U e sua derivada com a fórmula que já temos:
Isso completa a resolução da EDO obtida pela transformada de Laplace: encontramos a solução geral, aplicamos as condições de contorno e calculamos a constante B(s). A inversão da transformada de Laplace para obter u(x,t) no domínio do tempo envolve transformadas com fatores e^{-\sqrt{s}x} e não é solicitada explicitamente; a expressão acima é a solução da EDO em x para a transformada U(x,s).