Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado:
x=3 raizy, 1 <= y <= 4; eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é gerada quando a curva $ x = 3\sqrt{y} $ é girada em torno do eixo $ y $. A matéria que estamos usando aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas de superfícies de revolução. Para isso, vamos precisar usar uma fórmula específica e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
y
Aqui, $ x $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Dada a função $ x = 3\sqrt{y} $, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir a derivada na fórmula dentro da raiz:
raiz1 + (dxdy)^2 = raiz1 + (32raizy)^2 = raiz1 + 94y = raiz4y + 94y = raiz4y + 92raizy

Passo 5

Vamos substituir $ x $ e a expressão que encontramos na fórmula da área:
x
Simplificando os termos:
A = 2pi integral1^4 3raizy cdot raiz4y + 92raizy , dy
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe $ u = 4y + 9 $, então $ du = 4 dy $ ou $ dy = \frac{du}{4} $. Alterando os limites de integração:
  • Quando $ y = 1 $, $ u = 4(1) + 9 = 13 $
  • Quando $ y = 4 $, $ u = 4(4) + 9 = 25 $
Agora, a integral fica:
A = 3pi integral1^4 raiz4y + 9 , dy
Integrando $ \sqrt{u} $:
u = 4y + 9
Aplicando os limites:
du = 4 dy

Resposta

A área da superfície de revolução é $ \frac{\pi}{2} \left(125 - 13\sqrt{13}\right) $ unidades quadradas.

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