Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado:
; eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é gerada quando a curva $ x = 3\sqrt{y} $ é girada em torno do eixo $ y $. A matéria que estamos usando aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas de superfícies de revolução. Para isso, vamos precisar usar uma fórmula específica e fazer algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
Aqui, $ x $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Dada a função $ x = 3\sqrt{y} $, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir a derivada na fórmula dentro da raiz:
Passo 5
Vamos substituir $ x $ e a expressão que encontramos na fórmula da área:
Simplificando os termos:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe $ u = 4y + 9 $, então $ du = 4 dy $ ou $ dy = \frac{du}{4} $. Alterando os limites de integração:
- Quando $ y = 1 $, $ u = 4(1) + 9 = 13 $
- Quando $ y = 4 $, $ u = 4(4) + 9 = 25 $
Agora, a integral fica:
Integrando $ \sqrt{u} $:
Aplicando os limites:
Resposta
A área da superfície de revolução é $ \frac{\pi}{2} \left(125 - 13\sqrt{13}\right) $ unidades quadradas.