Resolva o problema de contorno
ux x=ut, & 0<x<1, t>0 u(x, 0)=1, & 0<x<1 u(0, t)=1, u(1, t)=2, & t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução de
ut=uxx, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=1, u(1,t)=2
e condição inicial
u(x,0)=1, 0<x<1
Este é o problema de calor unidimensional com contorno de Dirichlet não homogêneo. Vamos usar o método de decomposição em parte estacionária (solução de regime) e parte transiente (série de autovalores).

Passo 2

Primeiro, achamos a solução estacionária v(x) que satisfaz
v''(x)=0, v(0)=1,;v(1)=2
Integrando duas vezes e aplicando as condições de contorno vem
v(x)=1+x

Passo 3

Definimos a parte transiente
w(x,t)=u(x,t)-v(x)
Então
wt = ut = uxx = wxx+v''(x)=wxx,
e as condições tornam-se
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=0, w(1,t)=0,
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=1-(1+x)=-x

Passo 4

Solução de wt=wxx com Dirichlet homogêneo é
w(x,t)=sumn=1^infty Bn,e^-n^2pi^2 tsin(npi x)
Os coeficientes vêm da expansão de
w(x,0)=-x=sumn=1^infty Bnsin(npi x),
onde
Bn=2integral0^1(-x)sin(npi x),dx =2(-1)^nnpi

Passo 5

Logo a parte transiente é
w(x,t)=sumn=1^infty2(-1)^nnpi,e^-n^2pi^2 tsin(npi x)
Voltando a u, temos

Resposta

u(x,t)=1+x +sumn=1^infty2(-1)^nnpi,e^-n^2pi^2 tsin(npi x)

Exercícios relacionados