Use o método de separação de variáveis para calcular
, se
Passo 1
O enunciado pede a solução de
com condições de contorno
e condições iniciais
O método de separação de variáveis exige supor
u(x,t)=X(x),T(t) e reduzir o problema a autovalores em
x e ODEs em
t .
Passo 2
Supondo
u(x,t)=X(x),T(t) temos
onde
lambda^2 é constante de separação. Assim obtemos os dois ODEs:
Passo 3
Aplicando as condições de contorno em
X :
-
implicaX(0)=0 .X(x)=Asen(lambda x) -
implicaX'(l)=0
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Passo 4
Para cada
lambdan a equação de
T é
A solução geral é a série
Passo 5
Usamos as condições iniciais:
u(x,0)=sen!l(pi x2lr) e
ut(x,0)=0 .
Emt=0 :
Em
Como
lambda1=tfracpi2l e os demais
lambdan são distintos, a expansão de Fourier em seno mostra que só
A1=1 e
An>=2=0 .
Emut(x,0)=0 :
Em
leva a
Bn=0 para todo
n .