Use o método de separação de variáveis para calcular u(x, t), 0 <= x <= l, t >= 0, se
l ut t=ux x u(0, t)=0, ux(l, t)=0, ut(x, 0)=0 u(x, 0)=sen(pi x2 l)

Passo 1

O enunciado pede a solução de
utt=uxx, 0<= x<= l,;t>=0
com condições de contorno
u(0,t)=0, ux(l,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=sen!l(pi x2lr), ut(x,0)=0
O método de separação de variáveis exige supor u(x,t)=X(x),T(t) e reduzir o problema a autovalores em x e ODEs em t.

Passo 2

Supondo u(x,t)=X(x),T(t) temos
X(x),T''(t)=X''(x),T(t) Longrightarrow T''(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda^2,
onde lambda^2 é constante de separação. Assim obtemos os dois ODEs:
X''(x)+lambda^2X(x)=0, T''(t)+lambda^2T(t)=0

Passo 3

Aplicando as condições de contorno em X:
  1. X(0)=0 implica X(x)=Asen(lambda x).
  2. X'(l)=0 implica
X'(x)=Alambdacos(lambda x);Longrightarrow;cos(lambda l)=0 ;Longrightarrow;lambda l=(2n-1)pi2,;n=1,2,dots
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lambdan=(2n-1)pi2l, Xn(x)=sen!l(lambdan xr)

Passo 4

Para cada lambdan a equação de T é
Tn''(t)+lambdan^2Tn(t)=0 ;Longrightarrow; Tn(t)=Ancos(lambdan t)+Bnsin(lambdan t)
A solução geral é a série
u(x,t) =sumn=1^infty l[Ancos(lambdan t)+Bnsin(lambdan t)r] sen(lambdan x)

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
u(x,0)=sen!l(pi x2lr) e ut(x,0)=0.
Em t=0:
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsen(lambdan x) =sen!l(tfracpi x2lr)
Como lambda1=tfracpi2l e os demais lambdan são distintos, a expansão de Fourier em seno mostra que só A1=1 e An>=2=0.
Em ut(x,0)=0:
ut(x,0)=sumn=1^inftyBnlambdansen(lambdan x)=0
leva a Bn=0 para todo n.

Resposta

u(x,t) =cos!l(tfracpi t2lr),sen!l(tfracpi x2lr)

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