Resolva o problema de Dirichlet no semi-plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de Dirichlet no semi-plano. Isso significa que queremos encontrar uma função $ u(x, y) $ que satisfaça a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial dada por:
Essa equação precisa ser válida para todos os $ x $ reais e $ y > 0 $. Além disso, temos uma condição na borda $ y = 0 $, onde a função $ u(x, 0) $ é igual a $ \frac{1}{1 + x^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fórmula de Poisson para o semi-plano superior, que nos ajuda a encontrar soluções para problemas de Dirichlet.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a fórmula de Poisson para o semi-plano superior. Essa fórmula nos dá a solução $ u(x, y) $ em termos de uma integral envolvendo a condição na borda. A fórmula é:
Aqui, $ f(\xi) $ é a condição na borda, que no nosso caso é $ f(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^2} $. A parte $ \frac{y}{(x - \xi)^2 + y^2} $ é chamada de kernel de Poisson para o semi-plano.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ f(\xi) $ na fórmula de Poisson:
O desafio aqui é calcular essa integral. Felizmente, essa integral é conhecida e podemos usar resultados de cálculo integral para resolvê-la.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Observamos que temos:
Podemos combinar os denominadores:
Para resolver essa integral, vamos usar um truque de substituição. Vamos fazer $ \xi = x + y t $, onde $ t $ é uma nova variável. Assim, $ d\xi = y dt $.
Passo 5
Fazendo a substituição $ \xi = x + y t $, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos reconhecer que essa integral resulta em uma função conhecida. De fato, essa integral pode ser resolvida usando técnicas de análise complexa, mas o resultado final é:
Essa é a solução que satisfaz a equação de Laplace no semi-plano superior com a condição de contorno dada.
Resposta
A solução do problema de Dirichlet no semi-plano é: