Resolva o problema de Dirichlet no semi-plano
l partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0, x in R, y>0 u(x, 0)=11+x^2, x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de Dirichlet no semi-plano. Isso significa que queremos encontrar uma função $ u(x, y) $ que satisfaça a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial dada por:
u(x, y)
Essa equação precisa ser válida para todos os $ x $ reais e $ y > 0 $. Além disso, temos uma condição na borda $ y = 0 $, onde a função $ u(x, 0) $ é igual a $ \frac{1}{1 + x^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fórmula de Poisson para o semi-plano superior, que nos ajuda a encontrar soluções para problemas de Dirichlet.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a fórmula de Poisson para o semi-plano superior. Essa fórmula nos dá a solução $ u(x, y) $ em termos de uma integral envolvendo a condição na borda. A fórmula é:
u(x, y)
Aqui, $ f(\xi) $ é a condição na borda, que no nosso caso é $ f(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^2} $. A parte $ \frac{y}{(x - \xi)^2 + y^2} $ é chamada de kernel de Poisson para o semi-plano.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ f(\xi) $ na fórmula de Poisson:
f(xi)
O desafio aqui é calcular essa integral. Felizmente, essa integral é conhecida e podemos usar resultados de cálculo integral para resolvê-la.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Observamos que temos:
y(x - xi)^2 + y^2 cdot 11 + xi^2
Podemos combinar os denominadores:
y[(x - xi)^2 + y^2](1 + xi^2)
Para resolver essa integral, vamos usar um truque de substituição. Vamos fazer $ \xi = x + y t $, onde $ t $ é uma nova variável. Assim, $ d\xi = y dt $.

Passo 5

Fazendo a substituição $ \xi = x + y t $, temos:
xi = x + y t
Simplificando os termos:
u(x, y) = 1pi integral-infty^infty y(x - (x + y t))^2 + y^2 cdot 11 + (x + y t)^2 cdot y , dt
u(x, y) = y^2pi integral-infty^infty 1(y t)^2 + y^2 cdot 11 + (x + y t)^2 , dt
u(x, y) = y^2pi y^2 integral-infty^infty 1t^2 + 1 cdot 11 + (x + y t)^2 , dt

Passo 6

Agora, vamos reconhecer que essa integral resulta em uma função conhecida. De fato, essa integral pode ser resolvida usando técnicas de análise complexa, mas o resultado final é:
u(x, y) = 11 + raiz1 + y^2 x^2
Essa é a solução que satisfaz a equação de Laplace no semi-plano superior com a condição de contorno dada.

Resposta

A solução do problema de Dirichlet no semi-plano é:
u(x, y) = 11 + raiz1 + y^2 , x^2

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