Encontre a solução geral da equação diferencial a seguir usando a transformada de Fourier
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial usando a transformada de Fourier:
Estamos lidando com equações diferenciais parciais e vamos usar a transformada de Fourier para resolver. A transformada de Fourier ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do espaço para o domínio da frequência, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em relação à variável $ x $. Isso significa que vamos transformar cada termo da equação de $ x $ para o domínio da frequência $ \omega $.
Lembrando que a transformada de Fourier de uma derivada espacial é dada por:
onde $ \hat{u}(\omega, t) $ é a transformada de Fourier de $ u(x, t) $.
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier em toda a equação, temos:
Usando a linearidade da transformada de Fourier, podemos separar os termos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma equação diferencial ordinária em termos de $ \hat{u} $:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral envolve encontrar as raízes características da equação auxiliar.
Passo 5
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para $ r $:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
As raízes serão complexas, então podemos escrever a solução geral no domínio da frequência:
Onde $ A(\omega) $ e $ B(\omega) $ são funções determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Fourier para voltar ao domínio do espaço e obter a solução geral $ u(x, t) $:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial original usando a transformada de Fourier.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ A(\omega) $ e $ B(\omega) $ são funções determinadas pelas condições iniciais do problema.