Resolva problema
\left\{\begin{array}{lll} u_{t}=3 u_{x x}, & 0<x<1, & t>0 \\\ u_{x}(0, t)=0 & u(1, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=1-x & 0 \leq x \leq 1 & \end{array}\right.

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional com difusividade 3, Neumann em x=0 e Dirichlet em x=1, e condição inicial u(x,0)=1-x. O método será separação de variáveis para obter modos próprios em x, expansão da condição inicial nesses modos e soma das soluções temporais.

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Isso leva a
\frac{T'(t)}{3T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2,
onde \lambda>0 é constante de separação. Obtemos os problemas
T'(t) + 3\lambda^2 T(t)=0, \quad X''(x) + \lambda^2 X(x)=0,
com as condições em x:
X'(0)=0,\quad X(1)=0.

Passo 3

A equação para X tem solução geral X(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x).
A condição X'(0)=0 B\lambda\cos(0)=0\implies B=0.
A condição X(1)=0 fica A\cos(\lambda)=0, forçando
\cos(\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_n=\frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots
e os autovetores são X_n(x)=\cos(\lambda_n x).

Passo 4

A parte temporal correspondente é
T_n(t)=e^{-3\lambda_n^2\,t}.
Logo a solução geral por superposição é
u(x,t) =\sum_{n=0}^\infty A_n\,e^{-3\lambda_n^2 t}\,\cos(\lambda_n x).

Passo 5

Precisamos de A_n tal que
u(x,0)=1-x=\sum_{n=0}^\infty A_n\cos(\lambda_n x).
Usando ortogonalidade de \cos(\lambda_n x) em [0,1],
A_n =\frac{\displaystyle\int_0^1(1-x)\cos(\lambda_n x)\,dx} {\displaystyle\int_0^1\cos^2(\lambda_n x)\,dx}.

Passo 6

Calculamos cada integral:
\int_0^1\cos^2(\lambda_n x)\,dx=\frac12, \qquad \int_0^1(1-x)\cos(\lambda_n x)\,dx =\frac{1}{\lambda_n^2}.
Portanto
A_n=\frac{\tfrac1{\lambda_n^2}}{\tfrac12} = \frac{2}{\lambda_n^2}.

Passo 7

Substituindo em u, obtemos a solução completa
u(x,t) =\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{\lambda_n^2}\, e^{-3\lambda_n^2 t}\cos\bigl(\lambda_n x\bigr), \qquad \lambda_n=\frac{(2n+1)\pi}{2}.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\bigr)^2} \;e^{-3\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\bigr)^2\,t} \;\cos\!\Bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\,x\Bigr).

Exercícios relacionados