Determinar a solução do problema de condução do calor
Passo 1
O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento 1, com conduta térmica
, sujeita a temperatura nula nas extremidades
e
, e condição inicial
O método é separação de variáveis: buscamos modos em
que satisfaçam as condições de contorno e depois acoplamos à parte temporal.
Passo 2
Resolvemos o problema de autovalores para a parte espacial
com
. As soluções não-triviais são
Esses
formam uma base ortogonal em
.
Passo 3
Para cada modo
a parte temporal
satisfaz
cuja solução é
Passo 4
A solução geral é a soma dos modos ponderados por coeficientes
:
Para ajustar à condição inicial, fazemos
Passo 5
Como
é base ortogonal e a condição inicial já está em forma de combinação de senos, vemos que
Logo, só aparecem os modos
e
.