Determinar a solução do problema de condução do calor
\left\{\begin{array}{rlrl} u_{t} & =100 u_{x x}, & 0<x<1, & t>0 \\\ u(0, t) & =u(1, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0) & =\operatorname{sen}(2 \pi x)-\operatorname{sen}(5 \pi x) & 0 \leq x \leq 1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento 1, com conduta térmica 100, sujeita a temperatura nula nas extremidades x=0 e x=1, e condição inicial
u(x,0)=\sin\bigl(2\pi x\bigr)-\sin\bigl(5\pi x\bigr).
O método é separação de variáveis: buscamos modos em x que satisfaçam as condições de contorno e depois acoplamos à parte temporal.

Passo 2

Resolvemos o problema de autovalores para a parte espacial X''+\lambda X=0 com X(0)=X(1)=0. As soluções não-triviais são
X_n(x)=\sin\bigl(n\pi x\bigr), \qquad \lambda_n=(n\pi)^2, \qquad n=1,2,3,\dots
Esses X_n formam uma base ortogonal em [0,1].

Passo 3

Para cada modo X_n a parte temporal T_n(t) satisfaz
T_n'(t)=-100\,\lambda_n\,T_n(t),
cuja solução é
T_n(t)=e^{-100\,(n\pi)^2\,t}.

Passo 4

A solução geral é a soma dos modos ponderados por coeficientes A_n:
u(x,t) =\sum_{n=1}^\infty A_n\,e^{-100\,(n\pi)^2\,t}\, \sin\bigl(n\pi x\bigr).
Para ajustar à condição inicial, fazemos
u(x,0) =\sum_{n=1}^\infty A_n\,\sin\bigl(n\pi x\bigr) \stackrel!=\sin\bigl(2\pi x\bigr)-\sin\bigl(5\pi x\bigr).

Passo 5

Como \{\sin(n\pi x)\} é base ortogonal e a condição inicial já está em forma de combinação de senos, vemos que
A_2=1, \quad A_5=-1, \quad A_n=0\;\text{para }n\neq2,5.
Logo, só aparecem os modos n=2 e n=5.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\;e^{-100\,(2\pi)^2\,t}\,\sin\bigl(2\pi x\bigr) \;-\; e^{-100\,(5\pi)^2\,t}\,\sin\bigl(5\pi x\bigr). }

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