Resolva a integra a seguir:
integral sen(2 t)(t^2+3 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral sen(2 t)(t^2+3 t) dt
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar qual parte da função vamos derivar e qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher partes para a integração por partes usando a fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos definir:
  • u = t^2 + 3t (porque ao derivar ficará mais simples)
  • dv = sen(2t) , dt
Agora, vamos derivar u e integrar dv :
  • du = (2t + 3) , dt
  • v = -12 cos(2t) (já que integral sen(2t) , dt = -12 cos(2t))

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sen(2t)(t^2 + 3t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (t^2 + 3t) (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t))(2t + 3) , dt
Simplificando:
= -12(t^2 + 3t)cos(2t) + 12 integral cos(2t)(2t + 3) , dt

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral cos(2t)(2t + 3) , dt
Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:
  • u = 2t + 3
  • dv = cos(2t) , dt
Derivando e integrando:
  • du = 2 , dt
  • v = 12 sen(2t)
Aplicando a fórmula:
integral cos(2t)(2t + 3) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
= (2t + 3)(12 sen(2t)) - integral 12 sen(2t) cdot 2 , dt
Simplificando:
= 12(2t + 3)sen(2t) - integral sen(2t) , dt
Integrando sen(2t):
= 12(2t + 3)sen(2t) + 12 cos(2t) + C

Resposta

Juntando tudo, a integral original fica:
integral sen(2t)(t^2 + 3t) , dt = -12(t^2 + 3t)cos(2t) + 14(2t + 3)sen(2t) + 14cos(2t) + C
Onde C é a constante de integração.

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