Resolva o problema de maximização da utilidade (assumindo m >= 4 )
max U(x 1, x 2)=12 ln (1+x 1)+14 ln (1+x 2) sujeito a 2 times 1+3 times 2=m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de maximização de utilidade juntos! A gente tem uma função de utilidade que depende de duas variáveis, $ x_1 $ e $ x_2 $, e uma restrição de gasto. O objetivo aqui é encontrar os valores de $ x_1 $ e $ x_2 $ que deixam a utilidade máxima, considerando que a gente tem um orçamento limitado $ m \geq 4 $.
Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a resolver problemas de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de utilidade que queremos maximizar:
U(x1, x2) = 12 ln (1 + x1) + 14 ln (1 + x2)
E a restrição que temos é:
2x1 + 3x2 = m
Isso significa que o que a gente gasta em $ x_1 $ e $ x_2 $ não pode ultrapassar o valor $ m $.

Passo 3

Agora, vamos montar o que chamamos de função de Lagrange, que incorpora a restrição na função que queremos maximizar. A gente faz isso adicionando um multiplicador $ \lambda $ que vai ajudar a levar em conta essa restrição. A função de Lagrange fica assim:
lambda

Passo 4

O próximo passo é achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x_1 $, $ x_2 $ e $ \lambda $, e igualar cada uma delas a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, a derivada em relação a $ x_1 $:
x1
Depois, a derivada em relação a $ x_2 $:
x2
E por fim, a derivada em relação a $ \lambda $, que nos retorna a restrição:
lambda

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar $ \lambda $. Da primeira equação:
lambda
Da segunda equação:
12(1 + x1) = 2lambda Rightarrow lambda = 14(1 + x1)
Agora, igualamos as duas expressões para $ \lambda $:
14(1 + x2) = 3lambda Rightarrow lambda = 112(1 + x2)
Simplificando:
lambda

Passo 6

Agora que temos $ x_1 $ em termos de $ x_2 $, vamos substituir isso na nossa restrição:
x1
Simplificando:
x2
Resolvendо para $ x_2 $:
2x1 + 3x2 = m Rightarrow 2(3x2 + 2) + 3x2 = m

Passo 7

Agora que temos $ x_2 $, vamos encontrar $ x_1 $ usando a relação que achamos antes:
x2

Passo 8

Então, resumindo, para maximizar a utilidade dado o orçamento $ m $, os valores ótimos de $ x_1 $ e $ x_2 $ são:
m

Resposta

Os valores que maximizam a utilidade são:
x1 = m + 23 e x2 = m - 49

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