Resolva o problema de maximização da utilidade (assumindo
)
sujeito a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de maximização de utilidade juntos! A gente tem uma função de utilidade que depende de duas variáveis, $ x_1 $ e $ x_2 $, e uma restrição de gasto. O objetivo aqui é encontrar os valores de $ x_1 $ e $ x_2 $ que deixam a utilidade máxima, considerando que a gente tem um orçamento limitado $ m \geq 4 $.
Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a resolver problemas de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de utilidade que queremos maximizar:
E a restrição que temos é:
Isso significa que o que a gente gasta em $ x_1 $ e $ x_2 $ não pode ultrapassar o valor $ m $.
Passo 3
Agora, vamos montar o que chamamos de função de Lagrange, que incorpora a restrição na função que queremos maximizar. A gente faz isso adicionando um multiplicador $ \lambda $ que vai ajudar a levar em conta essa restrição. A função de Lagrange fica assim:
Passo 4
O próximo passo é achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x_1 $, $ x_2 $ e $ \lambda $, e igualar cada uma delas a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, a derivada em relação a $ x_1 $:
Depois, a derivada em relação a $ x_2 $:
E por fim, a derivada em relação a $ \lambda $, que nos retorna a restrição:
Passo 5
Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar $ \lambda $. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, igualamos as duas expressões para $ \lambda $:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos $ x_1 $ em termos de $ x_2 $, vamos substituir isso na nossa restrição:
Simplificando:
Resolvendо para $ x_2 $:
Passo 7
Agora que temos $ x_2 $, vamos encontrar $ x_1 $ usando a relação que achamos antes:
Passo 8
Então, resumindo, para maximizar a utilidade dado o orçamento $ m $, os valores ótimos de $ x_1 $ e $ x_2 $ são:
Resposta
Os valores que maximizam a utilidade são: