Resolva o problema de maximização da utilidade (assumindo
)
sujeito a
Com
como a função de utilidade indireta, mostre que
Com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de maximização da utilidade juntos! A gente quer maximizar a função de utilidade
, sob a condição de que
, onde
. Para isso, vamos usar a técnica de otimização com restrição, conhecida como método do multiplicador de Lagrange. Vamos precisar entender derivadas, logaritmos e como aplicar as restrições para encontrar os valores ótimos de
e
que maximizam a utilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso envolve pegar a função de utilidade que queremos maximizar e subtrair o multiplicador de Lagrange
vezes a restrição. Nossa Lagrangeana fica assim:
Aqui, adicionamos o termo
para incluir a restrição na otimização.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Em seguida, a derivada em relação a
:
E por último, a derivada em relação a
, que nos retorna a restrição original:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações que obtivemos. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, usamos a restrição original para substituir
por
:
Simplificando:
Então, encontramos
em função de
. Agora, voltamos para
:
Passo 6
Com os valores de
e
em termos de
, podemos agora substituir de volta na função de utilidade para encontrar a utilidade indireta
:
Simplificando os argumentos dos logaritmos:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função de utilidade indireta em relação a
é igual ao multiplicador de Lagrange
, ou seja: