Resolva o problema de maximização da utilidade (assumindo m >= 4 )
max U(x 1, x 2)=12 ln (1+x 1)+14 ln (1+x 2) sujeito a 2 times 1+3 times 2=m
Com U^star(m) como a função de utilidade indireta, mostre que dU * / dm=lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de maximização da utilidade juntos! A gente quer maximizar a função de utilidade U(x1, x2)=12 ln (1+x1)+14 ln (1+x2), sob a condição de que 2x1 + 3x2 = m, onde m >= 4. Para isso, vamos usar a técnica de otimização com restrição, conhecida como método do multiplicador de Lagrange. Vamos precisar entender derivadas, logaritmos e como aplicar as restrições para encontrar os valores ótimos de x1 e x2 que maximizam a utilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso envolve pegar a função de utilidade que queremos maximizar e subtrair o multiplicador de Lagrange lambda vezes a restrição. Nossa Lagrangeana fica assim:
L = 12 ln (1+x1) + 14 ln (1+x2) + lambda (m - 2x1 - 3x2)
Aqui, adicionamos o termo lambda (m - 2x1 - 3x2) para incluir a restrição na otimização.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a x1, x2 e lambda, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a x1:
partial Lpartial x1 = 12 cdot 11+x1 - 2lambda = 0
Em seguida, a derivada em relação a x2:
partial Lpartial x2 = 14 cdot 11+x2 - 3lambda = 0
E por último, a derivada em relação a lambda, que nos retorna a restrição original:
partial Lpartial lambda = m - 2x1 - 3x2 = 0

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações que obtivemos. Primeiro, da primeira equação:
12(1+x1) = 2lambda Rightarrow lambda = 14(1+x1)
Da segunda equação:
14(1+x2) = 3lambda Rightarrow lambda = 112(1+x2)
Agora, igualamos as duas expressões para lambda:
14(1+x1) = 112(1+x2) Rightarrow 3(1+x2) = 1+x1
Isso simplifica para:
3 + 3x2 = 1 + x1 Rightarrow x1 = 3x2 + 2

Passo 5

Agora, usamos a restrição original para substituir x1 por 3x2 + 2:
2(3x2 + 2) + 3x2 = m Rightarrow 6x2 + 4 + 3x2 = m
Simplificando:
9x2 + 4 = m Rightarrow 9x2 = m - 4 Rightarrow x2 = m - 49
Então, encontramos x2 em função de m. Agora, voltamos para x1:
x1 = 3( m - 49 ) + 2 = m - 43 + 2 = m - 4 + 63 = m + 23

Passo 6

Com os valores de x1 e x2 em termos de m, podemos agora substituir de volta na função de utilidade para encontrar a utilidade indireta U^star(m):
U^star(m) = 12 ln (1 + m + 23) + 14 ln (1 + m - 49)
Simplificando os argumentos dos logaritmos:
1 + m + 23 = 3 + m + 23 = m + 53
1 + m - 49 = 9 + m - 49 = m + 59
Então,
U^star(m) = 12 ln ( m + 53 ) + 14 ln ( m + 59 )

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de U^star(m) em relação a m:
dU^stardm = 12 cdot 1m + 53 cdot 13 + 14 cdot 1m + 59 cdot 19
Simplificando:
dU^stardm = 12 cdot 3m + 5 cdot 13 + 14 cdot 9m + 5 cdot 19 = 12(m + 5) + 14(m + 5) = 34(m + 5)

Resposta

A derivada da função de utilidade indireta em relação a m é igual ao multiplicador de Lagrange lambda, ou seja:
dU^stardm = lambda = 34(m + 5)

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