Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que f(x) é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
g(x)=13 x^2+1+1

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo e o esboço do gráfico da função g(x)=13x^2+1+1. Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas, derivadas primeira e segunda para obter monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Determinar o domínio. A única restrição viria de um denominador zero, mas 3x^2+1>=1>0 para todo x. Logo o domínio é R.

Passo 3

Encontrar assíntotas. Não há assíntota vertical porque o denominador nunca zera. Para xtopminfty, temos 13x^2+1to0, então g(x)to1. Assim existe assíntota horizontal y=1.

Passo 4

Estudar monotonicidade. Calculamos a derivada:
g'(x)=ddxl((3x^2+1)^-1r)=-1cdot(3x^2+1)^-2cdot6x=-6x(3x^2+1)^2
O único ponto crítico é onde g'(x)=0, i.e. x=0.
Para x<0, g'(x)>0 (função crescente) e para x>0, g'(x)<0 (função decrescente).

Passo 5

Identificar extremos locais. Como g' passa de positivo a negativo em x=0, há um máximo local em x=0.
O valor é g(0)=1/(1)+1=2. Então existe máximo local (0,2).

Passo 6

Estudar concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda é
g''(x)=ddxl(-6x(3x^2+1)^-2r)=6(9x^2-1)(3x^2+1)^3
Zerando g'' vem 9x^2-1=0, i.e. x=pm1/3.
Como o denominador é positivo, o sinal de g'' segue o numerador:
- Para |x|<1/3, 9x^2-1<0 então g''<0 (côncava para baixo).
- Para |x|>1/3, 9x^2-1>0 então g''>0 (côncava para cima).
Logo há pontos de inflexão em x=pm1/3.

Resposta

Domínio: R.
Assíntotas: não há vertical; horizontal em y=1.
Monotonicidade: crescente em ( -infty,0), decrescente em (0,infty); ponto crítico x=0.
Extremo: máximo local em (0,2).
Concavidade: côncava para cima em ( -infty,-1/3)cup(1/3,infty) e para baixo em ( -1/3,1/3); pontos de inflexão em x=pm1/3.

Exercícios relacionados