Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo e o esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas, derivadas primeira e segunda para obter monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Determinar o domínio. A única restrição viria de um denominador zero, mas
para todo
. Logo o domínio é
.
Passo 3
Encontrar assíntotas. Não há assíntota vertical porque o denominador nunca zera. Para
, temos
, então
. Assim existe assíntota horizontal
.
Passo 4
Estudar monotonicidade. Calculamos a derivada:
O único ponto crítico é onde
Para
Passo 5
Identificar extremos locais. Como
passa de positivo a negativo em
, há um máximo local em
.
O valor é . Então existe máximo local
.
O valor é
Passo 6
Estudar concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda é
Zerando
Como o denominador é positivo, o sinal de
- Para
- Para
Logo há pontos de inflexão em
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas: não há vertical; horizontal em .
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
; ponto crítico
.
Extremo: máximo local em .
Concavidade: côncava para cima em e para baixo em
; pontos de inflexão em
.
Assíntotas: não há vertical; horizontal em
Monotonicidade: crescente em
Extremo: máximo local em
Concavidade: côncava para cima em