Use o Teorema de Green para achar a área sob um arco da cicloide
. Dica: considere um campo vetorial
tal que
.
Passo 1
A gente quer usar o Teorema de Green pra encontrar a área sob um arco da cicloide dada por
,
, com
. O conteúdo aqui é aplicar Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla da forma
e a dica diz pra escolher
tal que o integrando seja 1, então essa integral dupla vira simplesmente a área de
.
Passo 2
Para garantir que
vamos escolher de um jeito bem simples
Passo 3
Agora precisamos descrever a fronteira
de
. Ela é composta de duas partes:
-
: o arco da cicloide, parametricamente de a . -
: o segmento de reta no eixo que fecha de de volta a .
Em seguida a gente vai somar as integrais de linha eme em .
Passo 4
Na parte
temos
pois
e
. Como
fica
Calculando separadamente:
Então
Passo 5
Na parte
, sobre o eixo
, temos
e logo
. Então
Passo 6
Até aqui nossa parametrização (cicloide de
a
e depois o segmento de
a 0) dá uma orientação horário, ou seja
Mas o Teorema de Green pede orientação contrária ao relógio para que
. Como usamos horário, temos
e daí
Resposta
3\pi