Use o Teorema de Green para achar a área sob um arco da cicloide x=t-sin t, y=1-cos t. Dica: considere um campo vetorial F=P i+Q j tal que partial Qpartial x-partial Ppartial y=1.

Passo 1

A gente quer usar o Teorema de Green pra encontrar a área sob um arco da cicloide dada por x=t-sin t, y=1-cos t, com tin[0,2pi]. O conteúdo aqui é aplicar Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla da forma
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA,
e a dica diz pra escolher P, Q tal que o integrando seja 1, então essa integral dupla vira simplesmente a área de D.

Passo 2

Para garantir que
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1,
vamos escolher de um jeito bem simples
P = 0, Q = x

Passo 3

Agora precisamos descrever a fronteira C de D. Ela é composta de duas partes:
  1. C1: o arco da cicloide, parametricamente de t=0 a 2pi.
  2. C2: o segmento de reta no eixo y=0 que fecha de (2pi,0) de volta a (0,0).
    Em seguida a gente vai somar as integrais de linha em C1 e em C2.

Passo 4

Na parte C1 temos
integralC1 P,dx + Q,dy = integralC1 x,dy,
pois P=0 e Q=x. Como
x = t - sin t, dy = sin t,dt,
fica
integral0^2pi (t - sin t)sin t,dt = integral0^2pi tsin t,dt - integral0^2pisin^2 t,dt
Calculando separadamente:
integral0^2pi tsin t,dt = [-tcos t + sin t]0^2pi = -2pi,
integral0^2pisin^2 t,dt = pi
Então
integralC1 x,dy = -2pi - pi = -3pi

Passo 5

Na parte C2, sobre o eixo y=0, temos yequiv0 e logo dy=0. Então
integralC2 P,dx + Q,dy = integralC2 0,dx + xcdot 0 = 0

Passo 6

Até aqui nossa parametrização (cicloide de t=0 a 2pi e depois o segmento de 2pi a 0) dá uma orientação horário, ou seja
ointC P,dx + Q,dy = -3pi
Mas o Teorema de Green pede orientação contrária ao relógio para que
ointCC P,dx + Q,dy = Área(D)Á. Como usamos horário, temos
-3pi = -Área(D) Á
e daí
Área(D) = 3pi Á

Resposta

3\pi

Exercícios relacionados