Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y "+3 y^{\prime}+2 y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0;
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<10 \\\\ 0, & t \geq 10\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+3y'+2y=f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t<10,\\\\ 0,&t\ge10. \end{cases}
O conteúdo é solução de EDO linear não homogênea com entrada em degrau de duração finita, usando a resposta ao impulso e convolução.

Passo 2

Em sistemas lineares com condições iniciais nulas, a solução é
y(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau,
onde h(t) é a resposta ao impulso, dada pela solução de
h''+3h'+2h=\delta(t),\quad h(0^-)=0,\;h'(0^-)=0.

Passo 3

Para t>0 temos a equação homogênea
h''+3h'+2h=0
com polinômio característico r^2+3r+2=(r+1)(r+2), raízes r=-1,-2.
Logo
h(t)=A e^{-t}+B e^{-2t},\quad t>0.
As condições em t=0 vêm do salto imposto por \delta:
1. Continuidade: h(0^+)=h(0^-)=0 A+B=0.
2. Salto em h': \int_{0^-}^{0^+}(h''+3h'+2h)\,dt=1 implica h'(0^+)-h'(0^-)=1. Como h'(0^-)=0 e h'(t)=-A e^{-t}-2B e^{-2t}, ter
h'(0^+)=-A-2B=1.
Resolvendo A+B=0 e -A-2B=1 vem A=1,\;B=-1. Portanto
h(t)=e^{-t}-e^{-2t},\quad t>0.

Passo 4

Usando convolução e a forma de f(t), escrevemos
y(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau =\int_{0}^{\min(t,10)}\bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\bigr)\,d\tau.

Passo 5

Para 0\le t<10 a integral vai de \tau=0 até \tau=t. Definindo u=t-\tau,
\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)}\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-u}\,du=1-e^{-t}, \quad \int_{0}^{t}e^{-2(t-\tau)}\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-2u}\,du=\frac12\bigl(1-e^{-2t}\bigr).
Logo
y(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)-\frac12\bigl(1-e^{-2t}\bigr) =\frac12 -e^{-t}+\frac12\,e^{-2t}, \quad 0\le t<10.

Passo 6

Para t\ge10 a integral vai de \tau=0 até \tau=10. Ainda com u=t-\tau,
\int_{0}^{10}e^{-(t-\tau)}\,d\tau =e^{-t}\int_{0}^{10}e^{\tau}\,d\tau =e^{-t}\bigl(e^{10}-1\bigr),
\int_{0}^{10}e^{-2(t-\tau)}\,d\tau =e^{-2t}\int_{0}^{10}e^{2\tau}\,d\tau =e^{-2t}\frac{e^{20}-1}{2}.
Portanto
y(t) =(e^{10}-1)e^{-t} -\frac{e^{20}-1}{2}\,e^{-2t}, \quad t\ge10.

Resposta

y(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2} e^{-2t}, & 0 \le t < 10, \\[1em] \displaystyle (e^{10} - 1) e^{-t} - \frac{e^{20} - 1}{2} e^{-2t}, & t \ge 10. \end{cases}]

Exercícios relacionados