Calcule a área da região do plano que se encontra no no interior do círculo (x-4)^{2}+y^{2}=16 e fora do círculo x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do círculo
(x-4)^{2}+y^{2}=16
e ao mesmo tempo fora do círculo
x^{2}+y^{2}=16.
O assunto aqui é geometria de áreas de discos e interseção de círculos.

Passo 2

Identificamos que o primeiro círculo (que chamamos de C_1) tem centro em (4,0) e raio R=4, e o segundo círculo ( C_2) tem centro em (0,0) e o mesmo raio r=4. A distância entre os centros é
d = \sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}} = 4.

Passo 3

Para encontrar a área da região de C_{1} que fica dentro de C_{2} (ou seja, a interseção dos dois discos), usamos a fórmula para dois círculos de mesmo raio R separados por d:
A_{\text{intersec}} = 2\,R^{2}\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{d}{2R}\Bigr) -\frac{d}{2}\sqrt{4R^{2}-d^{2}}.

Passo 4

Substituindo R=4 e d=4 na fórmula:
\displaystyle \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{d}{2R}\bigr)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{8}\bigr)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{\pi}{3},
\displaystyle \sqrt{4R^{2}-d^{2}}=\sqrt{4\cdot16-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.
Portanto
A_{\text{intersec}} =2\cdot16\cdot\frac{\pi}{3} -\frac{4}{2}\,4\sqrt{3} =\frac{32\pi}{3}-8\sqrt{3}.

Passo 5

A área que queremos é a parte de C_{1} que fica fora de C_{2}. Como a área total de C_{1} é \pi\cdot4^{2}=16\pi, subtraímos a interseção:
\text{Área desejada} =16\pi -\Bigl(\frac{32\pi}{3}-8\sqrt{3}\Bigr) =\frac{48\pi-32\pi}{3}+8\sqrt{3} =\frac{16\pi}{3}+8\sqrt{3}.Á

Resposta

\frac{16\pi}{3}+8\sqrt{3}

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