Em cada caso, determine se o campo é conservativo e, em caso positivo obtenha a sua função potencial:
F(x, y)=x^2-y i+2 x y-1 j

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o campo vetorial F(x,y)=(P,Q)=(x^2 - y,,2xy -1) é conservativo e, se for, achar a função potencial. Vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas em R^2.

Passo 2

Para um campo F=(P,Q) em R^2, ele é conservativo se e somente se
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Aqui temos
P(x,y)=x^2 - y, Q(x,y)=2xy -1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 - y) = -1,
partial Qpartial x = partialpartial x(2xy -1) = 2y

Passo 4

Como -1 neq 2y para a maioria dos y, as derivadas cruzadas não coincidem em geral. Logo, F não é conservativo e não existe função potencial definida em todo o plano.

Resposta

O campo não é conservativo, pois partial P/partial y = -1 e partial Q/partial x = 2y não são iguais, logo não há função potencial.

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