Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’(t) = -4t , y(t)^2 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ t $ e depois integrar tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela é separável. A equação que temos é:
Para separar as variáveis, queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ t $ do outro. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicando por $ dt $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado para resolver $ y $ em termos de $ t $.
Vamos integrar a esquerda e a direita:
Passo 4
Vamos calcular as integrais separadamente:
- Integral da esquerda:
- Integral da direita:
Então, juntando as duas integrais, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1 para simplificar:
Podemos renomear $ C $ como $ C’ $ (já que é apenas uma constante) para facilitar:
Então, isolando $ y $:
Passo 6
Para determinar a constante $ C’ $, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
Passo 7
Agora que sabemos que $ C’ = 1 $, substituímos de volta na expressão para $ y $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: