Resolva o problema de valor inicial.
y^prime(t)=-4 t y(t)^2, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’(t) = -4t , y(t)^2 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ t $ e depois integrar tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela é separável. A equação que temos é:
dydt = -4t , y^2
Para separar as variáveis, queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ t $ do outro. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicando por $ dt $:
y

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado para resolver $ y $ em termos de $ t $.
Vamos integrar a esquerda e a direita:
y

Passo 4

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. Integral da esquerda:
integral dyy^2 = integral y^-2 , dy = y^-1-1 + C = -1y + C
  1. Integral da direita:
integral -4t , dt = -4 integral t , dt = -4 ( t^22 ) + C = -2t^2 + C
Então, juntando as duas integrais, temos:
- 1y = -2t^2 + C

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1 para simplificar:
y
Podemos renomear $ C $ como $ C’ $ (já que é apenas uma constante) para facilitar:
1y = 2t^2 - C
Então, isolando $ y $:
C

Passo 6

Para determinar a constante $ C’ $, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
C'

Passo 7

Agora que sabemos que $ C’ = 1 $, substituímos de volta na expressão para $ y $:
C' = 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 12t^2 + 1

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