Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos ver passo a passo como aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Reconhecendo que:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é apenas:
E a integral do lado direito, usando a substituição
,
, fica:
Então temos:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: