Resolva o problema de valor inicial.
y^prime(t)-2 t y(t)=2 t, y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é:
y^prime(t) - 2t,y(t) = 2t, y(0) = 3
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos ver passo a passo como aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y^prime(t) + P(t),y(t) = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
y^prime(t) - 2t,y(t) = 2t
Vemos que:
P(t) = -2t e Q(t) = 2t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t),dt
Vamos calcular isso:
mu(t) = e^integral -2t,dt = e^-t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-t^2,y^prime(t) - 2t,e^-t^2,y(t) = 2t,e^-t^2
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(t),y(t).

Passo 5

Reconhecendo que:
ddt( e^-t^2,y(t) ) = 2t,e^-t^2
Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt( e^-t^2,y(t) ) dt = integral 2t,e^-t^2 dt

Passo 6

A integral do lado esquerdo é apenas:
e^-t^2,y(t)
E a integral do lado direito, usando a substituição u = -t^2, du = -2t,dt, fica:
integral 2t,e^-t^2 dt = -e^-t^2 + C
Então temos:
e^-t^2,y(t) = -e^-t^2 + C

Passo 7

Agora, isolamos y(t) dividindo ambos os lados por e^-t^2:
y(t) = -1 + C,e^t^2

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0) = 3 para encontrar o valor da constante C:
3 = -1 + C,e^0
Sabendo que e^0 = 1, temos:
3 = -1 + C C = 4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -1 + 4,e^t^2

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