Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
l y^prime prime+3 y=1-2 U(t-3) y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com valores iniciais (PVI). Precisamos encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
y(t)
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 y'' + 3y = 1 - 2 U(t-3) çõ \mathcal{U}(t-3) $).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
y''(t)

Passo 3

Vamos substituir as transformadas conhecidas:
  • $ \mathcal{L}{y’’} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) = s^2 Y(s) - s \cdot 1 - 1 $
  • $ \mathcal{L}{y} = Y(s) $
  • $ \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $
  • $ \mathcal{L}{\mathcal{U}(t-a)} = \frac{e^{-a s}}{s} $, então $ \mathcal{L}{\mathcal{U}(t-3)} = \frac{e^{-3 s}}{s} $
Substituindo na equação:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) = s^2 Y(s) - s cdot 1 - 1

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos que contêm $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos pelo denominador comum $ s $ para eliminar as frações:
(s^2 + 3) Y(s) = s + 1 + 1s - 2 e^-3 ss
Simplificando:
s

Passo 5

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Podemos simplificar o denominador fatorando $ s $:
Y(s) = s^2 + s + 1 - 2 e^-3 ss^3 + 3s

Passo 6

Agora, vamos separar a fração em termos individuais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa:
Y(s) = s^2s(s^2 + 3) + ss(s^2 + 3) + 1s(s^2 + 3) - 2 e^-3 ss(s^2 + 3)
Simplificando cada termo:
Y(s) = 1s^2 + 3 + 1s^2 + 3 + 1s(s^2 + 3) - 2 e^-3 s cdot 1s(s^2 + 3)

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  1. $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s2 + 3}\right} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3} t) $
  2. $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s2 + 3}\right} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3} t) $
  3. $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s(s2 + 3)}\right} = \frac{1 - \cos(\sqrt{3} t)}{3} $
  4. Para o último termo, usamos o teorema de deslocamento, então:
L^-11s^2 + 3 = 1raiz3 sin(raiz3 t)

Passo 8

Juntando todos os termos, temos:
y(t) = 1raiz3 sin(raiz3 t) + 1raiz3 sin(raiz3 t) + 1 - cos(raiz3 t)3 - 2 cdot U(t-3) cdot 1 - cos[raiz3(t-3)]3
Simplificando:
y(t) = 2raiz3 sin(raiz3 t) + 1 - cos(raiz3 t)3 - 23 U(t-3) [1 - cos(raiz3 (t - 3))]

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 2raiz3 sin(raiz3, t) + 1 - cos(raiz3, t)3 - 23 U(t-3) [1 - cos(raiz3, (t - 3))]

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