Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com valores iniciais (PVI). Precisamos encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1
\mathcal{U}(t-3) $).
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Passo 3
Vamos substituir as transformadas conhecidas:
- $ \mathcal{L}{y’’} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) = s^2 Y(s) - s \cdot 1 - 1 $
- $ \mathcal{L}{y} = Y(s) $
- $ \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $
- $ \mathcal{L}{\mathcal{U}(t-a)} = \frac{e^{-a s}}{s} $, então $ \mathcal{L}{\mathcal{U}(t-3)} = \frac{e^{-3 s}}{s} $
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos reunir os termos que contêm $ Y(s) $:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos pelo denominador comum $ s $ para eliminar as frações:
Simplificando:
Passo 5
Isolamos $ Y(s) $:
Podemos simplificar o denominador fatorando $ s $:
Passo 6
Agora, vamos separar a fração em termos individuais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
- $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s2 + 3}\right} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3} t) $
- $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s2 + 3}\right} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3} t) $
- $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s(s2 + 3)}\right} = \frac{1 - \cos(\sqrt{3} t)}{3} $
- Para o último termo, usamos o teorema de deslocamento, então:
Passo 8
Juntando todos os termos, temos:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é: