Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver o problema de valor inicial raizy,dx + (1+x),dy = 0 com y(0)=1. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que se configura como um caso de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato tfracdydx = -tfracraizy1+x e isolamos as variáveis, colocando termos em y de um lado e em x do outro:
1raizy,dy = -11+x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados da igualdade:
integral y^-1/2,dy = integral -11+x,dx
e obtemos após a integração
2raizy = -ln|1+x| + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar a constante C. Substituindo x=0 e raizy(0)=1:
2cdot1 = -ln1 + C implies C = 2

Passo 5

Isolamos raizy e elevamos ao quadrado para obter a solução explícita. Primeiro:
2raizy = 2 - ln|1+x| Longrightarrow raizy = 1 - tfrac12ln|1+x|
e então
y = l(1 - tfrac12ln|1+x|r)^2
Como usamos ln|1+x| e a condição inicial exige 1+x>0, o domínio é x>-1.

Resposta

A solução do problema é y(x)=l(1-tfrac12ln(1+x)r)^2, válida para x>-1.

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