Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Descreva o comportamento da solução quando
e quando
.
Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
com
O método é usar a equação característica de uma EDO linear com coeficientes constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Resolvendo,
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
Passo 4
Impondo
,
logo
Passo 5
Vamos derivar
. Com
, escrevemos primeiro para uso geral:
Agrupando termos,
Passo 6
Substituindo
, fica
Em
isso dá
Como
, temos
Passo 7
Portanto a solução do IVP é
Passo 8
Analisando o comportamento:
- Quando
, o fator , então : é uma oscilação amortecida. - Quando
, o fator , logo a amplitude cresce sem limite e a solução diverge oscilando.
Resposta
Como
,
.
Como ,
(oscilação com amplitude crescente).
Como