Resolva o problema de valor inicial abaixo:
x^prime prime+2 x^prime+2 x=0 ; x(pi)=0 ; x^prime(pi)=2-9
Descreva o comportamento da solução quando t +infty e quando t -infty.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
x'' + 2x' + 2x = 0,
com
x(pi)=0, x'(pi)=2-9=-7
O método é usar a equação característica de uma EDO linear com coeficientes constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 2 = 0
Resolvendo,
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm i, a solução geral é
x(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Impondo x(pi)=0,
0 = x(pi) = e^-pil(Acospi + Bsinpir) = e^-pi(-A + 0),
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A = 0

Passo 5

Vamos derivar x(t). Com A=0, escrevemos primeiro para uso geral:
x'(t) = ddtl[e^-t(Acos t + Bsin t)r] = e^-tl[-Acos t - Bsin tr] + e^-tl[-Asin t + Bcos tr]
Agrupando termos,
x'(t) = e^-tl[(B - A)cos t - (A + B)sin tr]

Passo 6

Substituindo A=0, fica
x'(t) = B,e^-t(cos t - sin t)
Em t=pi isso dá
x'(pi) = B,e^-pi(cospi - sinpi) = B,e^-pi(-1 - 0) = -B,e^-pi
Como x'(pi)=-7, temos
-B,e^-pi = -7 Longrightarrow B = 7,e^pi

Passo 7

Portanto a solução do IVP é
x(t) = e^-tl(0cdotcos t + 7e^pisin tr) = 7,e^pi - tsin t

Passo 8

Analisando o comportamento:
  • Quando t to +infty, o fator e^pi-tto0, então x(t)to0: é uma oscilação amortecida.
  • Quando t to -infty, o fator e^pi-t=e^pie^-tto+infty, logo a amplitude cresce sem limite e a solução diverge oscilando.

Resposta

x(t) = 7,e^pi - tsin t
Como tto+infty, x(t)to0.
Como tto-infty, |x(t)|to+infty (oscilação com amplitude crescente).

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