Resolva o problema de valor inicial abaixo:
x^prime prime+2 x^prime+2 x=0 ; x(pi)=0 ; x^prime(pi)=2-9

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x'' + 2x' + 2x = 0, x(pi)=0, x'(pi)=2-9=-7
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) achar a equação característica, (2) obter a solução geral, (3) ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 2r + 2 = 0
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara,
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot22 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm i, a solução geral é
x(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Precisamos de x'(t). Diferenciando,
x'(t) = ddtl[e^-t(Acos t + Bsin t)r] = e^-tl[(B-A)cos t - (A+B)sin tr]

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais em t=pi:
  1. x(pi)=0
0 = e^-pil(Acospi + Bsinpir) = e^-pi(-A) ;Longrightarrow; A=0
  1. x'(pi)=-7
-7 = e^-pil[Bcospi - Bsinpir] = e^-pi(Bcdot(-1)) = -B,e^-pi ;Longrightarrow; B = 7,e^pi

Passo 6

Substituindo A=0 e B=7e^pi na solução geral, ficamos com
x(t) = e^-tl(0cdotcos t + 7e^pisin tr) = 7,e^pi - t,sin t

Resposta

x(t) = 7,e^pi - t,sin t

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