Considere a EDO:
t^2 y^prime prime-2 y=0
Calcule o Wronskiano de y1 e y2. Escreva uma fórmula para a solução geral da EDO acima.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t^2y'' - 2y = 0
que é uma equação de Euler (ou equação de Cauchy–Euler). Vamos buscar soluções do tipo y=t^m, determinar as raízes da equação característica, obter duas soluções independentes y1 e y2, calcular o Wronskiano e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Suponha
y(t)=t^m
Então
y'(t)=m,t^m-1, y''(t)=m(m-1),t^m-2
Substituindo em ,t^2y''-2y=0 resulta
t^2l[m(m-1)t^m-2r] - 2,t^m = l[m(m-1)-2r]t^m = 0
Como t^mneq0 para tneq0, a equação característica é
m(m-1)-2=0 ;Longrightarrow; m^2-m-2=0

Passo 3

Resolvendo
m^2-m-2=0 Longrightarrow m = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
obtém-se
m1=2, m2=-1
Logo, duas soluções independentes são
y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1

Passo 4

O Wronskiano de y1 e y2 é
W(y1,y2)(t) = t^2 & t^-1 2t & -t^-2 = t^2l(-t^-2r);- t^-1,(2t) = -1 - 2 = -3
Como Wneq0, as soluções são linearmente independentes.

Passo 5

A solução geral é combinação linear de y1 e y2:
y(t)=C1,t^2+C2,t^-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

W(y1,y2)(t) = -3 y(t) = C1,t^2 + C2,t^-1

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