Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Perceba que
. Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para usar o método dos coeficientes indeterminados, vamos obter primeiro a solução complementar (associada à parte homogênea) e depois uma solução particular para o termo forçante
.
Passo 2
Encontramos a solução complementar resolvendo a equação característica da parte homogênea
Note que
tem raiz dupla
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Agora escolhemos um palpite para a solução particular
. Como o termo forçante
é um polinômio de grau 1 e não coincide com nenhuma solução da homogênea, assumimos
com
e
a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Esse resultado deve ser igual a
. Igualando coeficientes de
e do termo constante, temos
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação é
Passo 6
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Derivando
,
Em
: