Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-2 y^prime+y=2 t+10-9 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''-2y'+y = 2t + 10 - 9, y(0)=0, y'(0)=1
Perceba que 2t+10-9 = 2t+1. Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para usar o método dos coeficientes indeterminados, vamos obter primeiro a solução complementar (associada à parte homogênea) e depois uma solução particular para o termo forçante 2t+1.

Passo 2

Encontramos a solução complementar resolvendo a equação característica da parte homogênea
r^2 - 2r + 1 = 0
Note que
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
tem raiz dupla r=1. Logo a solução complementar é
yc(t) = C1 e^t + C2,t,e^t

Passo 3

Agora escolhemos um palpite para a solução particular yp. Como o termo forçante 2t+1 é um polinômio de grau 1 e não coincide com nenhuma solução da homogênea, assumimos
yp(t) = A,t + B,
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo na equação diferencial:
yp'' - 2yp' + yp = 0 - 2A + (A,t + B) = A,t + (B - 2A)
Esse resultado deve ser igual a 2t+1. Igualando coeficientes de t e do termo constante, temos
A = 2, B - 2A = 1 ;Longrightarrow; B - 4 = 1 ;Longrightarrow; B = 5
Portanto
yp(t) = 2t + 5

Passo 5

A solução geral da equação é
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1 e^t + C2,t,e^t + 2t + 5

Passo 6

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(t). Derivando y(t),
y'(t) = C1 e^t + C2l(e^t + t,e^tr) + 2 = C1 e^t + C2,e^t + C2,t,e^t + 2
Em t=0:
y(0)=C1 + 0 + 0 + 5 = 0 Longrightarrow C1 = -5,
y'(0)=C1 + C2 + 0 + 2 = 1 Longrightarrow -5 + C2 + 2 = 1 Longrightarrow C2 = 4

Resposta

boxedy(t) = -5e^t + 4t,e^t + 2t + 5

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