Calcule as integrais iteradas seguintes:
integral1^2 integral2^3 y ln x d x d y

Passo 1

Temos a integral iterada y. O conteúdo aqui é integração dupla em que, na integração interna, ln x é tratado como constante e precisamos conhecer a primitiva de .

Passo 2

Para a integral interna, escrevemos
integral2^3yln x,dx = yintegral2^3ln x,dx
pois y não depende de x e pode ser fatorado para fora da integral.

Passo 3

Recordando que a primitiva de ln x é xln x - x, calculamos
integral2^3ln x,dx = l[xln x - xr]2^3 = (3ln3 - 3) - (2ln2 - 2) = 3ln3 - 2ln2 - 1

Passo 4

Logo a integral interna vale
y,(3ln3 - 2ln2 - 1)
Agora vamos à integral externa:
integral1^2y,(3ln3 - 2ln2 - 1),dy = (3ln3 - 2ln2 - 1)integral1^2y,dy

Passo 5

Calculando integral1^2y,dy = l[tfrac12y^2r]1^2 = tfrac12(4 - 1)=tfrac32. Portanto o resultado final é
32,(3ln3 - 2ln2 - 1)

Resposta

dfrac32l(3ln3 - 2ln2 - 1r)

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