Usando o fato de que
e
, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente as derivadas
Pede-se provar a relação
Informações relevantes fornecidas:
- Está implícito que, por definição,
sempre que . - Pode-se usar propriedades operatórias das derivadas (produto, soma, etc.).
A partir daqui vamos deduzir a derivada depasso a passo.
Passo 2
Primeiro vou provar uma propriedade útil: se
é diferenciável e
, então a derivada de
é
Prova dessa propriedade de forma simples: escreva a identidade
pois
. Agora derive ambos os lados em relação a
. Pelo fato de a derivada de uma constante ser zero e pela regra do produto (veja próximo passo), obtém-se
Isolando
vem
Como
, substituindo temos
o que é exatamente a fórmula desejada.
Passo 3
Breve lembrete da regra do produto usada acima (apenas para ficar claro): se
e
são diferenciáveis, então
Essa regra foi aplicada na diferenciação de
do passo anterior.
Passo 4
Agora aplique a propriedade do passo 2 ao caso concreto
. Defina
Pela fórmula do passo 2,
Pelo dado do enunciado,
. Substituindo:
Passo 5
Simplifique a fração
para obter a forma usual com
e
. Lembre que por definição
Assim,
Portanto chegamos à identidade desejada.