Usando o fato de que \frac{d}{d x}(\operatorname{sen} x)=\cos x e \frac{d}{d x}(\cos x)=-\operatorname{sen} x, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
\frac{d}{d x}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x \tan x

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente as derivadas
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=\cos x \qquad\text{e}\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\operatorname{sen} x.
Pede-se provar a relação
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Está implícito que, por definição, \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} sempre que \cos x\neq0.
  • Pode-se usar propriedades operatórias das derivadas (produto, soma, etc.).
    A partir daqui vamos deduzir a derivada de \operatorname{sec} x passo a passo.

Passo 2

Primeiro vou provar uma propriedade útil: se h(x) é diferenciável e h(x)\neq0, então a derivada de g(x)=\dfrac{1}{h(x)} é
g'(x)=-\frac{h'(x)}{h(x)^2}.
Prova dessa propriedade de forma simples: escreva a identidade
h(x)\cdot g(x)=1,
pois g(x)=1/h(x). Agora derive ambos os lados em relação a x. Pelo fato de a derivada de uma constante ser zero e pela regra do produto (veja próximo passo), obtém-se
h'(x)\,g(x)+h(x)\,g'(x)=0.
Isolando g'(x) vem
g'(x)=-\frac{h'(x)\,g(x)}{h(x)}.
Como g(x)=\dfrac{1}{h(x)}, substituindo temos
g'(x)=-\frac{h'(x)}{h(x)^2},
o que é exatamente a fórmula desejada.

Passo 3

Breve lembrete da regra do produto usada acima (apenas para ficar claro): se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Essa regra foi aplicada na diferenciação de h(x)g(x)=1 do passo anterior.

Passo 4

Agora aplique a propriedade do passo 2 ao caso concreto h(x)=\cos x. Defina
g(x)=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Pela fórmula do passo 2,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=-\frac{\bigl(\cos x\bigr)'}{\bigl(\cos x\bigr)^2}.
Pelo dado do enunciado, \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\operatorname{sen} x. Substituindo:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=-\frac{-\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}.

Passo 5

Simplifique a fração \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x} para obter a forma usual com \operatorname{sec} e \tan. Lembre que por definição
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x} \qquad\text{e}\qquad \tan x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.
Assim,
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=\operatorname{sec} x\cdot\tan x.
Portanto chegamos à identidade desejada.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x

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