Seja
Mostre que
é derivável em
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
é derivável em
e, depois, calcular
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, especificamente para funções definidas por partes (funções que têm expressões diferentes em intervalos distintos). Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a derivabilidade em um ponto de junção e calcular o limite das derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas maneiras:
Isso significa que para valores de
menores que 1, usamos
, e para
igual ou maior que 1, usamos
.
Passo 3
Para que
seja derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas à esquerda e à direita de 1 devem ser iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
.
Passo 4
Calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
):
Como
e
, a função é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas à esquerda e à direita de
.
Primeiro, derivada à esquerda (
):
Então,
Passo 6
Agora, derivada à direita (
):
Então,
Passo 7
Como as derivadas à esquerda e à direita de
são iguais (
), a função
é derivável em
.
Resposta
A função
é derivável em
e
.