Seja
g(x)= x^2+2, & x<1 2 x+1, & x >= 1
Mostre que g é derivável em x=1 e calcule g^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função é derivável em e, depois, calcular . A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, especificamente para funções definidas por partes (funções que têm expressões diferentes em intervalos distintos). Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a derivabilidade em um ponto de junção e calcular o limite das derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função g(x)= x^2+2, & se x < 1 2x+1, & se x >= 1 . Ela é definida de duas maneiras:
Isso significa que para valores de menores que 1, usamos , e para igual ou maior que 1, usamos .

Passo 3

Para que seja derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas à esquerda e à direita de 1 devem ser iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em .

Passo 4

Calculamos o limite de limx to 1^- g(x) = limx to 1^- (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3 quando limx to 1^+ g(x) = limx to 1^+ (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3 se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
Como e , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas à esquerda e à direita de g'(x) = ddx(x^2 + 2) = 2x .
Primeiro, derivada à esquerda ( limx to 1^- g'(x) = 2(1) = 2 ):
Então,

Passo 6

Agora, derivada à direita ( g'(x) = ddx(2x + 1) = 2 ):
limx to 1^+ g'(x) = 2
Então,

Passo 7

Como as derivadas à esquerda e à direita de são iguais ( ), a função é derivável em .

Resposta

A função é derivável em e .

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