Resolva o problema de valor inicial:
Dica: Use que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear e uma condição inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial:
Aqui,
e
. Esses são os termos que vamos usar para encontrar o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. A fórmula para isso é:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos simplificar a integral do lado direito. Observamos que:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: