Determine a soluçāo do problema de valor inicial dado por
y' + 2/t y = t, y(2) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que parece assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Esse fator é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação original por ele:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

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