Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
- A equação é
. - A condição inicial é
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
- Há um termo
, logo a equação pode ser escrita na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. - A condição inicial está em
, que é positivo (útil ao tratar da função fator integrante).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
A partir de
isolamos os termos em
:
Logo
e
.
Agora a técnica: método do fator integrante. Vou explicar isso de forma bem direta:
- Para a equação
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
- Então integra-se ambos os lados para obter
, e depois .
Cada símbolo:
-
e são as funções que aparecem na forma padrão. -
é uma função que torna o lado esquerdo uma derivada exata. -
é constante de integração que será determinada pela condição inicial.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar no intervalo onde
e usar simplesmente
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Começando da forma padrão:
Multiplicando por
:
Simplificando o termo do meio:
Verifique que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato,
que coincide com o lado esquerdo acima.
Portanto temos a equação exata
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Calcule as integrais separadamente:
Então
Passo 6
Isolar
dividindo por
(lembrando que estamos em
, então
):
Este é o solução geral (no intervalo considerado).
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
Calcule
com denominador comum
:
Portanto
, o que dá
Passo 8
Substituir
na solução geral obtida no Passo 6:
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial
.