Resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}+2=3 x, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
  • A equação é \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{3y}{x}+2=3x.
  • A condição inicial é y(1)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
  • Há um termo \dfrac{3y}{x}, logo a equação pode ser escrita na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem.
  • A condição inicial está em x=1, que é positivo (útil ao tratar da função fator integrante).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
A partir de \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{3y}{x}+2=3x isolamos os termos em y:
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y = 3x-2.
Logo P(x)=\dfrac{3}{x} e Q(x)=3x-2.
Agora a técnica: método do fator integrante. Vou explicar isso de forma bem direta:
  • Para a equação \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).
  • Então integra-se ambos os lados para obter \mu(x)\,y=\int \mu(x)\,Q(x)\,dx + C, e depois y=(1/\mu)\big(\int \mu Q\,dx + C\big).
Cada símbolo:
  • P(x) e Q(x) são as funções que aparecem na forma padrão.
  • \mu(x) é uma função que torna o lado esquerdo uma derivada exata.
  • C é constante de integração que será determinada pela condição inicial.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso P(x)=\dfrac{3}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(3\ln|x|\right)=|x|^{3}.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos trabalhar no intervalo onde x>0 e usar simplesmente \mu(x)=x^{3}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{3}. Começando da forma padrão:
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=3x-2.
Multiplicando por x^{3}:
x^{3}\frac{dy}{dx}+x^{3}\cdot\frac{3}{x}y = x^{3}(3x-2).
Simplificando o termo do meio:
x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y = 3x^{4}-2x^{3}.
Verifique que o lado esquerdo é a derivada de x^{3}y. De fato,
\frac{d}{dx}\big(x^{3}y\big)=x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y,
que coincide com o lado esquerdo acima.
Portanto temos a equação exata
\frac{d}{dx}\big(x^{3}y\big)=3x^{4}-2x^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{3}y=\int \big(3x^{4}-2x^{3}\big)\,dx + C.
Calcule as integrais separadamente:
\int 3x^{4}\,dx = 3\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{3}{5}x^{5}, \qquad \int 2x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{2}x^{4}.
Então
x^{3}y=\frac{3}{5}x^{5}-\frac{1}{2}x^{4}+C.

Passo 6

Isolar y dividindo por x^{3} (lembrando que estamos em x>0, então x^{3}\neq0):
y=\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{2}x + Cx^{-3}.
Este é o solução geral (no intervalo considerado).

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1:
1=\frac{3}{5}\cdot 1^{2}-\frac{1}{2}\cdot 1 + C\cdot 1^{-3}.
Logo
1=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}+C.
Calcule \dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2} com denominador comum 10:
\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}.
Portanto 1=\dfrac{1}{10}+C, o que dá
C=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.

Passo 8

Substituir C=\dfrac{9}{10} na solução geral obtida no Passo 6:
y(x)=\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{2}x + \frac{9}{10}x^{-3}.
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial y(1)=1.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{9}{10}x^{-3}

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