Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_{0}.
y{\prime}=t{2} y\left(1+t^{2}\right), y(0)=y_{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem separável \displaystyle \frac{dy}{dt}=t^{2}\,y\,(1+t^{2})
com condição inicial y(0)=y_{0}.
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt}=t^{2}(1+t^{2})
ou seja
\frac{1}{y}\,dy = \bigl(t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \bigl(t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt.
Isso resulta em
\ln\lvert y\rvert = \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{5}}{5} + C.

Passo 4

Para determinar a constante C, use y(0)=y_{0}. Em t=0 temos \ln\lvert y_{0}\rvert = C. Logo
\ln\lvert y\rvert = \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{5}}{5} + \ln\lvert y_{0}\rvert.
Exponenciando, vem
y(t)=y_{0}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3} + \tfrac{t^{5}}{5}\Bigr).

Passo 5

Pelo teorema de existência e unicidade, como
f(t,y)=t^{2}(1+t^{2})y \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=t^{2}(1+t^{2})
são contínuos em todo \mathbb{R}^{2}, a solução existe e é única para todo t\in\mathbb{R}, independentemente de y_{0}.

Resposta

y(t)=y_{0}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3} + \tfrac{t^{5}}{5}\Bigr),
existe para todo t\in(-\infty,\infty).

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