Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial
.
y{\prime}=t{2} y\left(1+t^{2}\right), y(0)=y_{0}
y{\prime}=t{2} y\left(1+t^{2}\right), y(0)=y_{0}
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem separável
com condição inicial .
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração.
com condição inicial
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
ou seja
Passo 3
Integre ambos os lados:
Isso resulta em
Passo 4
Para determinar a constante
, use
. Em
temos
. Logo
Exponenciando, vem
Passo 5
Pelo teorema de existência e unicidade, como
são contínuos em todo
, a solução existe e é única para todo
, independentemente de
.
Resposta
existe para todo
.