Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_{0}.
y^{\prime}=-4 t y, y(0)=y_{0}
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = -4\,t\,y,\quad y(0)=y_{0}.
Este é um EDO de primeira ordem, separável (ou linear), e queremos a solução explícita e o intervalo de existência em função de y_{0}.
Para o intervalo de existência, note que a função f(t,y)=-4\,t\,y é contínua em (t,y)\in\mathbb{R}^{2} e Lipschitz em y em qualquer retângulo de \mathbb{R}^{2}. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução existe e é única para todo t\in\mathbb{R}, sem depender de y_{0}.
Resposta
A solução do problema é
y(t) = y_{0}\,e^{-2\,t^{2}},
e ela existe para todo t\in(-\infty,\infty), independentemente do valor de y_{0}.