Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_{0}.
y^{\prime}=-4 t y, y(0)=y_{0}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = -4\,t\,y,\quad y(0)=y_{0}.
Este é um EDO de primeira ordem, separável (ou linear), e queremos a solução explícita e o intervalo de existência em função de y_{0}.

Passo 2

Como é separável, escrevemos
\frac{dy}{y} = -4\,t\,dt.
Integramos ambos os lados:

Passo 3

\int \frac{dy}{y} = \int -4\,t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| = -2\,t^{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando,
y(t) = e^{\,C}\,e^{-2\,t^{2}} = K\,e^{-2\,t^{2}}.
Impondo y(0)=y_{0} obtemos
K = y(0) = y_{0},
logo a solução é
y(t) = y_{0}\,e^{-2\,t^{2}}.

Passo 5

Para o intervalo de existência, note que a função f(t,y)=-4\,t\,y é contínua em (t,y)\in\mathbb{R}^{2} e Lipschitz em y em qualquer retângulo de \mathbb{R}^{2}. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução existe e é única para todo t\in\mathbb{R}, sem depender de y_{0}.

Resposta

A solução do problema é
y(t) = y_{0}\,e^{-2\,t^{2}},
e ela existe para todo t\in(-\infty,\infty), independentemente do valor de y_{0}.

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