Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial
.
y{\prime}=y{2}, y(0)=y_{0}
y{\prime}=y{2}, y(0)=y_{0}
Passo 1
O problema de valor inicial é
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável. Vamos
- separar variáveis,
- integrar para obter a solução geral,
- usar a condição inicial para fixar a constante,
- encontrar o intervalo de existência máximo em função de
.
Passo 2
Separemos variáveis escrevendo
Passo 3
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Usamos
para determinar
. Em
,
Substituindo em
obtemos
Passo 5
A solução só faz sentido enquanto o denominador não for zero, isto é
Como a condição inicial está em
, o intervalo máximo de existência em torno de
é:
- Se
, então e a solução existe para
- Se
, então e a solução existe para
- Se
, a única solução é , que existe para todo .
Resposta
A solução do PVI é
e o intervalo máximo de existência é