Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_{0}.
y{\prime}=y{2}, y(0)=y_{0}

Passo 1

O problema de valor inicial é
y' = y^{2},\quad y(0)=y_{0}.
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável. Vamos
  1. separar variáveis,
  2. integrar para obter a solução geral,
  3. usar a condição inicial para fixar a constante,
  4. encontrar o intervalo de existência máximo em função de y_{0}.

Passo 2

Separemos variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx} = y^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{y^{2}} = dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int dx \;\Longrightarrow\; -\,\frac{1}{y} = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos y(0)=y_{0} para determinar C. Em x=0,
-\,\frac{1}{y_{0}} = 0 + C \;\Longrightarrow\; C = -\,\frac{1}{y_{0}}.
Substituindo em -1/y = x + C obtemos
-\,\frac{1}{y} = x - \frac{1}{y_{0}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{y} = \frac{1}{y_{0}} - x \;\Longrightarrow\; y(x) = \frac{1}{\frac{1}{y_{0}} - x}.

Passo 5

A solução só faz sentido enquanto o denominador não for zero, isto é
\frac{1}{y_{0}} - x \neq 0 \;\Longrightarrow\; x \neq \frac{1}{y_{0}}.
Como a condição inicial está em x=0, o intervalo máximo de existência em torno de x=0 é:
  • Se y_{0}>0, então 1/y_{0}>0 e a solução existe para
x \in \bigl(-\infty,\;\tfrac{1}{y_{0}}\bigr).
  • Se y_{0}<0, então 1/y_{0}<0 e a solução existe para
x \in \bigl(\tfrac{1}{y_{0}},\;\infty\bigr).
  • Se y_{0}=0, a única solução é y(x)\equiv 0, que existe para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{1}{\frac{1}{y_{0}} - x}
e o intervalo máximo de existência é
\begin{cases} x\in(-\infty,\;\tfrac{1}{y_{0}}),&y_{0}>0,\\[6pt] x\in(\tfrac{1}{y_{0}},\;\infty),&y_{0}<0,\\[6pt] x\in\mathbb{R},&y_{0}=0. \end{cases}]

Exercícios relacionados