com as condições iniciais \;y(0)=0,\;y'(0)=0.
As perguntas que o problema pede são: encontrar a solução y(t) para todo t\ge0 usando transformadas de Laplace e apresentar a resposta final (tipicamente em forma por partes, devido à descontinuidade do termo forçante).
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{o equação: }y''+2y=f(t),\\[4pt] &\text{onde }f(t)=3\text{ para }t<4\text{ e }f(t)=0\text{ para }t\ge4,\\[4pt] &\text{condições iniciais: }y(0)=0,\;y'(0)=0. \end{aligned}çãçõ]
Passo 2
Expressar o lado direito f(t)\) usando a função degrau (função de Heaviside). A função degrau deslocada é definida por \(\;u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\[4pt]1,&t\ge a.\end{cases}
Para o nosso f(t) temos que ele vale 3 até t=4 e passa a valer 0. Isso pode ser escrito como
f(t)=3\bigl(1-u(t-4)\bigr),
pois para t<4 temos u(t-4)=0 e f(t)=3, e para t\ge4 temos u(t-4)=1 e f(t)=0.
Vou usar essa forma porque a transformada de Laplace da função degrau deslocada é conhecida e facilita o tratamento do termo que aparece apenas depois de um certo tempo.]
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial. Denotando \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s)\;, usamos a propriedade
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso reduz para \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s).
Transformada do lado direito: usando f(t)=3(1-u(t-4)),
A primeira parcela corresponde a uma função não deslocada; a segunda é a mesma transformada multiplicada por e^{-4s}, que pela propriedade de deslocamento no tempo corresponde a uma função vezes u(t-4) com argumento t-4.
Passo 5
Vamos inverter a transformada da primeira parcela. Definimos
F(s)=\frac{1}{s(s^2+2)},
de modo que a primeira parcela é 3F(s) e a segunda é 3e^{-4s}F(s).
Para calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} fazemos frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
Opcional (verificação rápida): em t=0 temos y(0)=\tfrac{3}{2}(1-\cos0)=\tfrac{3}{2}(1-1)=0 e y'(0)=0 (pode-se diferenciar a expressão de 0 e ver que o coeficiente inicial anula), então as condições iniciais são satisfeitas.]