Encontre a soluçilo geral do sistema de EDOs.
\vec{x}^{\prime}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right]_{\vec{x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares
\vec{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\vec{x}.
Informações dadas:
  • A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
  • Queremos a solução geral \vec{x}(t) dependendo de constantes arbitrárias (ou, equivalente, a forma modal com exponenciais).
    Não há mais informações no enunciado (por ex.: condição inicial), então a solução terá constantes arbitrárias.]

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): procurar soluções do tipo
\vec{x}(t)=\vec{v}\,e^{\lambda t},
onde \vec{v} é um vetor constante não-nulo e \lambda é um escalar. Substituindo essa forma em \vec{x}^{\prime}=A\vec{x} obtemos o problema de autovalores e autovetores
A\vec{v}=\lambda\vec{v},
ou seja, \lambda e \vec{v} são soluções não-triviais do sistema linear (A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}. Cada par (\lambda,\vec{v}) dá uma solução do sistema; se conseguirmos dois autovalores reais distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear dessas soluções. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-1.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(-2-\lambda) = -4 -2\lambda +2\lambda +\lambda^2 = -4+\lambda^2.
Portanto
\det(A-\lambda I) = -4+\lambda^2 -1 = \lambda^2-5.]

Passo 4

A equação característica é
\lambda^2-5=0.
Resolvendo,
\lambda=\pm\sqrt{5}.
Portanto temos dois autovalores reais distintos: \lambda_1=\sqrt{5} e \lambda_2=-\sqrt{5}.

Passo 5

Agora vamos achar um autovetor para \lambda_1=\sqrt{5}. Devemos resolver
(A-\lambda_1 I)\vec{v}=\vec{0},
ou seja
\begin{pmatrix}2-\sqrt{5} & 1\\[4pt]1 & -2-\sqrt{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha obtemos a equação
(2-\sqrt{5})v_1 + v_2 = 0.
Isolando v_2,
v_2 = (\sqrt{5}-2)\,v_1.
Escolhemos livremente v_1=1 (qualquer múltiplo serve), então um autovetor correspondente é
\vec{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{5}-2\end{pmatrix}.
(Verificação rápida: a segunda linha dá a mesma relação, então está consistente.)]

Passo 6

Agora o autovetor para \lambda_2=-\sqrt{5}. Resolver
\begin{pmatrix}2+\sqrt{5} & 1\\[4pt]1 & -2+\sqrt{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha:
(2+\sqrt{5})v_1 + v_2 = 0.
Logo
v_2 = -(2+\sqrt{5})\,v_1.
Tomando v_1=1 obtemos um autovetor
\vec{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2-\sqrt{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Os dois autvetores \vec{v}^{(1)} e \vec{v}^{(2)} são múltiplos lineares independentes (porque correspondem a autovalores diferentes), portanto formam uma base de \mathbb{R}^2. Com isso, a solução geral do sistema linear com coeficientes constantes é a combinação linear das soluções geradas por cada par autovalor-autovetor:
\vec{x}(t)=C_1\,e^{\lambda_1 t}\,\vec{v}^{(1)} + C_2\,e^{\lambda_2 t}\,\vec{v}^{(2)},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Substituindo os valores encontrados:
\vec{x}(t)=C_1\,e^{\sqrt{5}\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{5}-2\end{pmatrix} + C_2\,e^{-\sqrt{5}\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2-\sqrt{5}\end{pmatrix}.
Se quiseres, dá pra escrever componente a componente:
x_1(t)=C_1 e^{\sqrt{5}t}+C_2 e^{-\sqrt{5}t},
x_2(t)=C_1(\sqrt{5}-2)e^{\sqrt{5}t}+C_2(-2-\sqrt{5})e^{-\sqrt{5}t}.]

Passo 8

Pequena verificação intuitiva: cada termo \vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t} satisfaz \frac{d}{dt}(\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t})=\lambda_i\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t}=A\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t}, porque A\vec{v}^{(i)}=\lambda_i\vec{v}^{(i)}. Assim a combinação linear também satisfaz a EDO pelo linearidade, o que confirma a forma da solução.

Resposta

\displaystyle \vec{x}(t)=C_1\,e^{\sqrt{5}\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{5}-2\end{pmatrix}+C_2\,e^{-\sqrt{5}\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2-\sqrt{5}\end{pmatrix}.]

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