A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Queremos a solução geral \vec{x}(t) dependendo de constantes arbitrárias (ou, equivalente, a forma modal com exponenciais).
Não há mais informações no enunciado (por ex.: condição inicial), então a solução terá constantes arbitrárias.]
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): procurar soluções do tipo
\vec{x}(t)=\vec{v}\,e^{\lambda t},
onde \vec{v} é um vetor constante não-nulo e \lambda é um escalar. Substituindo essa forma em \vec{x}^{\prime}=A\vec{x} obtemos o problema de autovalores e autovetores
A\vec{v}=\lambda\vec{v},
ou seja, \lambda e \vec{v} são soluções não-triviais do sistema linear (A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}. Cada par (\lambda,\vec{v}) dá uma solução do sistema; se conseguirmos dois autovalores reais distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear dessas soluções. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevendo A-\lambda I:
Os dois autvetores \vec{v}^{(1)} e \vec{v}^{(2)} são múltiplos lineares independentes (porque correspondem a autovalores diferentes), portanto formam uma base de \mathbb{R}^2. Com isso, a solução geral do sistema linear com coeficientes constantes é a combinação linear das soluções geradas por cada par autovalor-autovetor:
Pequena verificação intuitiva: cada termo \vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t} satisfaz \frac{d}{dt}(\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t})=\lambda_i\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t}=A\vec{v}^{(i)}e^{\lambda_i t}, porque A\vec{v}^{(i)}=\lambda_i\vec{v}^{(i)}. Assim a combinação linear também satisfaz a EDO pelo linearidade, o que confirma a forma da solução.